§ 15. Эллипсоид

Рассмотрим поверхность, заданную каноническим уравнением:

(2.5)

Сразу же заметим, что |x|0, |y|b,|z|с и эллипсоид симметричен относительно всех трех координатных плоскостей.

Для выяснения формы эллипсоида применим метод сечений, состоящий в исследовании линий пересечения рассматриваемой поверхности с плоскостями вида z=const, у=const, z=const. Пусть дана плоскость z=h. Тогда в сечении исследуемой поверхности этой плоскостью, получаем линию, заданную уравнением

или

49

• уравнение эллипса.

Если h=О, т е. z = 0, то

получаем эллипс с полуосями

а и b. Если hс, то эллипс

вырождается в точку. Пересе-

чение эллипсоида с плоскостя

ми х=h, у=hдает анало-

гичный результат. Таким об-

разом, получаем поверхность,

изображенную на рис. 26.

Рис.26

Очевидно, что если какие-нибудь две полуоси равны, например

а = b, то получим эллипсоид вращения, полученный от вращения

эллипса

вокруг оси OZ. В частности, если в уравнении (2.5) а = Ь = c, то получаем сферу.

§16. Гиперболоид.

Гиперболоиды бывают двух типов. Однополостный гиперболоид

задается каноническим уравнением

(2.6)

Произведем сечение поверхности плоскостью z = h. Тогда

50

уравнение кривой в сечении примет вид

т.е.

- уравнение эллипса с полуосями и

Очевидно, что при h = 0 в

Плоскости XOY получаем эл-

липс, называемый горловым с

полуосями а и b. При увели-

чении |h| от 0 до +, полуо

си эллипса также будут уве-

личиватьсядо +. Учитывая,

что гиперболоид симметричен

относительно всех трех ко-

ординатных плоскостей, полу-

чим поверхность, изображен-

ную на рис. 27. Если а=b, то

поверхность представляет со-

бой гиперболоид вращенияпо-

лучаемый от вращения гипер-

болы

Рис.27

вокруг оси OZ. Если гиперболоид вращения

51

пересечь плоскостью у=b, то в сечении получается линия, задаваемая уравнением:

=0

— пара прямых (рис. 27).

Аналогичным образом, если пересечь поверхность плоскостью

x=b, то получим пару прямыхy/b-z/c=0 и y/b+z/c=0. Можно показать, что в силу осевой симметрии, аналогичная картина получается при пересечении с любой вертикальной плоскостью, касающейся горловой окружности. Таким образом, однополостный гиперболоид вращения представляет собой поверхность, образованную прямыми и, более того, образуется вращением любой из его прямолинейных образующих вокруг оси OZ.

Так как однополостный гиперболоид общего вида (2.6) получается из гиперболоида вращения путем равномерного сжатия (линейного преобразования координат) и при этом прямые переходят в прямые, то он также заполнен двумя семействами прямых линий. Каноническое уравнениедвуполостного гиперболоидаимеет вид:

Сечение плоскостью z=h задает эллипс

, т.е.

Отсюда следует, что z=hт.е. при|h|<с сечения нет, а при

h=с,x=у=О. При увеличении|h|от с до +, полуоси эллипса также увеличиваются от 0 до +.

Если у = h, то

—гипербола

52

Если х=h,то

-гипербола

Учитывая, что двупо-

лостный гиперболоид сим-

метричен относительно всех

трех координатных плос-

костей, получаем следую-

щее изображение поверхнос-

ти (рис.28).В случае, когда

а=bполучается двуполост-

ный гиперболоид вращенил

поверхность, полученная от

вращения гиперболы

вокруг оси OZ.

Рис.28