Глава VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка (ПВП) называется множество всех точек пространства, которые в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

(1)

Теорема. Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат OXYZ, в которой уравнение(1) имеет один из следующих 17 видов:

1) эллипсоид:

2) мнимый эллипсоид:

+

3) однополостный гиперболоид:

4) двуполостный гиперболоид

5) конус:

6) мнимый конус

7) эллиптический параболоид: z=ах²+by² (а,b >О);

8) гиперболический параболоид: z= - ax²+by² (а,b>0);

9) эллиптический цилиндр:

10) мнимый эллиптический цилиндр:

11) гиперболический цилиндр:

12) параболический цилиндр: у²=2рх;

13) пара пересекающихся плоскостей:

14) пара мнимых пересекающихся плоскостей:

15) пара параллельных плоскостей: у²=а²(а0)

16) пара мнимых параллельных плоскостей: у²+а²=0 (а0);

17) пара совпадающих плоскостей: у²=0.

Уравнения 1) - 17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка .

Выделим некоторые общие типы поверхностей второго порядка.

Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей.

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

F(x,у) =0

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,0). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

F(x,у)=0

• искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

1. х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр;

2) - эллиптический цилиндр;

3) -гиперболический цилиндр;

4) у²=2рх - параболический цилиндр.

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

Конические поверхности

Определение. Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую).

Коническая ПВП — коническая поверхность с направляющей, являющейся КВП.

Если вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

То уравнение конической поверхности имеет вид:

— уравнение конической поверхности