- •Глава V кривые второго порядка Парабола
- •Гипербола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Глава VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Гиперболоид.
- •Параболоид
Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда
- полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.
Для левой ветви гиперболы
полярное уравнение левой ветви гиперболы.
Классификация кривых второго порядка (квп)
Уравнение вида
ax2+bху+су2+dx+еу+f=0, (1)
где a²+ b²+ c² ≠ 0 , называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид.
1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’.
Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид
-2acosα sinα + b²cos²α - b²sin²α + 2csinα cosα.
Упрощая, получаем
-asin2α + bcos2α + csin2α = 0,
(a - c)sin2α = bcos2α, т.е.
,
Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид
ax2+bху+су2+dx+еу+f=0. (2)
2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственено у.
Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).
Применим формулы параллельного переноса
, ,
Тогда уравнение примет вид
где . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.
Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:
ах² + by² + c = 0;
ах² + by + c = 0;
аy² + bх + c = 0.
Рассмотрим случаи:
с ≠ 0. Тогда
Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.
Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.
Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы.
Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ.
с = 0. Тогда ах² + by² = 0;
Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0
b ‹ 0.
Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax – by = 0
Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).
Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.
Укажем еще один способ классификации КВП.