
- •Глава V кривые второго порядка Парабола
- •Гипербола
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Фокальный параметр эллипса и гиперболы
- •Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
- •Классификация кривых второго порядка (квп)
- •Свойства определителей второго и третьего порядков
- •Общая теория кривых второго порядка
- •Инварианты кривой второго порядка
- •Глава VI поверхности второго порядка Основная теорема о поверхностях второго порядка
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Гиперболоид.
- •Параболоид
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а, а>0, меньшая чем расстояние между фокусами.
Выберем
декартову прямоугольную систему
координат ОХY
так, как показано на рисунке.
Тогда F1F2=2с,
F1(—с,0),
F2(c,0).
Для произвольной точки М(х,у),
принадлежащей гиперболе, имеем
МF1—MF2=
2а,
а<с.
Обозначим с2-а2=b2, тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:
.
(3)
По
свойствам уравнения (3) исследуем свойства
гиперболы:
1. Координатные оси являются осми симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.
2.
Если у = 0, то x
=
а.
Если х = 0, то уравнение (3)
решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—а,0), А2(а,0), называемых вершинами гиперболы.
3. Так как
|х|
а.
Поэтому гипербола расположена вне
полосы, ограниченной прямыми x=
а.
4.
Если x
возрастает от а
до +,
то из (1.12) следует, что у возрастает от
0 до +
в первой координатной четверти.
5.
— наклонные асимптоты гиперболы.
По полученным свойствам строим гиперболу (рис.7). Отрезок А1А2 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина b— мнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.
x2—у2=а2
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина
.
Так как для гиперболы с>а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.
Директрисы эллипса и гиперболы.
Определение.
Прямые х=(а/ε),
где ε — эксцентриситет эллипса (гиперболы)
называются директрисами эллипса
(гиперболы).
Теорема. Отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).
Доказательство, например для эллипса, следует из того, что
MF1=а+εх, МF2=а—εх.
Заметим,
что, так как все точки параболы равноудалены
от директрисы и фокуса, то отношение
этих расстояний равно 1. Пo этому можно
говорить об эксцентриситете параболы
и считать его равным 1. Как уже отмечалось,
эксцентриситет окружности равен нулю.
Фокальный параметр эллипса и гиперболы
Пусть эллипс и гипербола заданы соответственно своими каноническими уравнениями. Проведем через один из фокусов этих кривых прямую перпендикулярную оси ОХ и обозначим точки ее пересечения с кривой через Р и Р'.
Обозначим
длину отрезка РР' через 2р. Тогда величина
р(р>0) называется фокальным
параметром эллипса (гиперболы)
и равна: .
Если
обозначить через d
– расстояние между фокусом и деректрисой,
то
.
Так как для параболы ε = 1 и d = р, то делаем следующий Вывод: для эллипса (кроме окружности), гиперболы, парабол фокальный параметр р равен:
p=εd,
где c — эксцентриситет, d — расстояние от фокуса до соответствующей директрисы.
Заметим, что для окружности фокальный параметр равен ее радиусу.