Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями

Обозначим == (х₂-x₁,y₂-у₁,z₂-z₁), =(m₁,n₁,р),

= (m₂,n₂,р₂).

1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а векторим не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , ,не коллинеарны, и все три вектора компланарны

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы ,,некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l₁ и l₂ равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние d от точки M₁(x₁,у₁,z₁) до данной прямой , проходящей через точкуM₀(х₀,у₀,z₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁ и l₂, заданные соответственно уравнениями

, (2)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁), =(m₂,n₂,p₂) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁ и α₂, где плоскости α₁ и α₂ одновременно параллельны векторам и, и проходят соответственно через прямыеl₁ и l₂

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1) прямаяl лежит в плоскости α, если

Am + Bn + Ср = 0,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

Am + Bn + Ср = О,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l₁ на плоскость α

Тогда и

.