Координаты на прямой.

Прямая l, на которой задана точка 0, называемая началом координат, задан единичный вектор , называемыйортом, называется координатной осью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

линеарен вектору и, значит,. Векторназываетсярадиус-вектором точки М, а число х называется координатой точки М на координатной оси l (обозначается: М(х)) или координатой радиус-вектора (обозначается:=(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на осиl поставлено в соответствие вполне определенное действительное число – ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М оси l, координата которой равна х. Таким образом, положение любой точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

Координаты на плоскости.

Пусть на плоскости αзаданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами иcоответственно. Тогда тройка (О,,) называетсяафинным репером, или афинной системой координат плоскости α.

Точка 0 называется началом кооpдинат, векторы и-базисными векторами. Если М – произвольная точка на плоскости α, то

Числа х и у называются афинными координатами точки М в системе (0,,), причем х называетсяабсциссой, а у – ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называетсярадиус-вектором точки М, числа х, у - координатами вектора (записывается:=(х,у)).

Афинная система координат (0,,) обозначается также OXY. Ось ОХ называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат.

Теорема. Пусть =, где

.

Тогда

Следствие 1. Пусть даны точки А (х₁,y₁) и В (х₂,у₂). Тогда

Следствие 2. Два вектора = (х₁,у₁) и = (х₂,у₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

.

Афинная система координат (0,,), в которой ортыивзаимно ортогональны, называетсядекартовой, или прямоугольной системой координат. В этом случае орты иобозначаются соответственно и .

Координаты в пространстве.

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами ,, соответственно. Тогда четверка (0, ,,) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы ,, - базисные векторы.

Так как векторы ,, - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x+y+z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называетсярадиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами. Если упорядоченная тройка векторов ,, является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы ,, попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х₁,у₁,z₁), В (х₂,у₂,z₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.