- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0,,) и прямаяl, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов следует, что Если прямаяl не параллельна оси OY, то следовательно,
- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.
В частности, для прямоугольной системы координат (0,)
k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.
Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению
x = a , Р(а,0)
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.
Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.
Следовательно,
Отсюда
y – b = k (x-а)
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть задана некоторая афинная система координат OXY.
Теорема 2.1. Любая прямая l системе координат ОX задается линейным уравнением вида
Аx + By + С = О, (1)
где А, В, С R и А2 + В20. Обратно, любое уравнение вида (1) задает прямую.
Уравнение вида (1) - общее уравнение прямой.
Пусть в уравнении (1) все коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Тогда
-Ах-By=-С, и .
Обозначим -С/А=а, -С/B=b. Получим
-уравнение в отрезках.
Действительно, числа |а| и |b| указывают на величины отрезков, отсекаемых прямой l на осях ОХ и OY соответственно.
Пусть прямая l задана общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат и пусть точки M1(x1,у1) и М2(х2,у2) принадлежит l. Тогда
Аx1 + Ву1 + С = Ах2 + Ву2 + С, то есть A(x1-x2) + В(у1-у2) = 0.
Последнее равенство означает, что вектор =(А,В) ортогонален вектору=(x1-x2,у1-у2). т.е. Вектор(А,В) называетсянормальным вектором прямой l.
Рассмотрим вектор =(-В,А). Тогда
=А(-В)+ВА=0. т.е. .
Следовательно, вектор =(-В,А) является направляющим вектором прянойl.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть в афинной системе координат (0, X, Y) задана прямая l, ее направлящий вектор = (m,n) и точкаM0 (x0,y0) принадлежащая l. Тогда для произвольной точки M (x,у) этой прямой имеем
и так как то.
Если обозначить и
- радиус-векторы соответственно точек M и M0, то
- уравнение прямой в векторной форме.
Так как =(х,у), =(х0,у0), то
x = x0 + mt,
y = y0 + nt
- параметрическое уравнение прямой.
Отсюда следует, что
- каноническое уравнение прямой.
Наконец, если на прямой l заданы две точки M1(х1,у1) и
M2(x2,у2), то вектор =(х2-х1,y2-у1) является направляющим вектором прямой l. Тогда
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями
l1: А1х + В1у + С1 = 0, (1)
l2: А2х + В2у + С2 = 0.
Теорема. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (1). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A1=λA2, В1=λB2;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А1=λA2, B1=λB2, С1=λС2;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2, В1=λВ2, С1λС2.