![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Раздел 4 методы, основанные на монотонности функций.
- •Раздел 5 посвящен применению методов решения функциональных уравнений.
- •Раздел 8 посвящен методам, основанным на использовании ограниченности функций.
- •1 Метод функциональной подстановки
- •2 Метод тригонометрической подстановки
- •3 Методы, основанные на применении численных неравенств
- •4 Методы, основанные на монотонности функций
- •5 Методы решения функциональных уравнений
- •6 Методы, основанные на применении векторов
- •7 Комбинированные методы
- •8 Метод, основные на использовании ограниченности функций
- •9 Методы решения симметрических системы уравнений
- •10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части
7 Комбинированные методы
При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно из кого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.
Задачи и решения
Пример 7.1. Решить уравнение
(7.1)
Решение. Рассмотрим уравнение с параметром a вида
(7.2)
которое
совпадает с уравнением (7.1) при
.
Перепишем уравнение (7.2)в виде квадратного
уравнения относительно неизвестной
переменнойa,
т.е.
(7.3)
Решением уравнения (7.3) относительно a являются
т.е.
и
Поскольку
,
то получаем два уравнения относительно
переменой вида
и
.
Отсюда получаем три корня исходного
уравнения (7.1), т.е.
и
.
Ответ:,
.
Пример 7.2. Решить уравнение
(7.4)
Решение.
Обозначим
тогда
.
Известно, что
тогда
и из уравнения (7.4) получаем уравнение
относительно переменной
вида
Решая последнее уравнение, получаем
и
.
Таким образом, имеет место
и
.
Отсюда следует
и
.
Пример
7.3.
Найти все значения
,
при которых разрешимо уравнение
(7.5)
Решение.
Воспользуемся
известным тригонометрическим равенством
Обозначим
тогда
и из (7.5) получаем
(7.6)
где
.
Воспользуемся
неравенствами, которые имеют место для
произвольных
и
вида
(данные неравенство легко доказать самостоятельно).
Следовательно,
и из (7.6) получаем
откуда следует
.
Ответ:
Пример 7.4. Решить уравнение
(7.7)
Решение.
Преобразуем уравнение (7.7) согласно
известного равенства
где
,
тогда
отсюда следует
(7.8)
Если
уравнение (7.7) сложить с уравнением
(7.8), то получаем
Поскольку левая часть уравнения
неотрицательна, то
.
Возведем обе части уравнения в квадрат,
тогда получаем квадратное уравнение
,
корнями которого являются
и
.
Непосредственной подстановкой в (7.7)
убеждаемся, что найденные значения
являются его корнями.
Ответ:
,
.
Пример 7.5. Решить уравнение
.
(7.9)
Решение.
Очевидно, что областью допустимых
значений уравнения (7.9) являются
.
Умножим обе части уравнения (7.9) на
,
тогда получаем
,
.
(7.10)
Решением
уравнения (7.10) являются
и
.
Однако
посторонний корень для уравнения (7.9),
поскольку при этом значении
левая часть уравнения (7.9) равна 0, а
правая меньше 0. Так как
,
то
не может быть корнем уравнения (7.9). в
этой связи
единственное решение исходного уравнения
(7.9).
Пример 7.6. Решить уравнение
.
(7.11)
Решение.
Обозначим
и
,
тогда из уравнения (7.11) получаем систему
двух уравнений относительно переменных
вида
(7.12)
Где
и
.
Преобразуем левую часть второго уравнения системы (7.12) следующим образом:
Так
как
,
то
.
Отсюда получаем
или
.
Рассмотрим две системы
и
Корням
первой системы являются
и
,
а вторая система решение не имеет.
Следовательно
или
Отсюда получаем два уравнения относительно
переменной
вида
и
.
Первое уравнений корней не имеет, а из
второго следует
и
.
Ответ:,
.
Пример 7.7. Решить уравнение
(7.13)
Решение.
Преобразуем уравнение (7.13), используя
свойство пропорции: если
то
.
Тогда уравнение (7.13), можно переписать
как
.
(7.14)
Поскольку
то из уравнения (7.14) получаем
т.е.
и
.
Так
как уравнения (7.13) и (7.14) равносильны, то
решением уравнения (7.13) являются
и
.
Пример 7.8. Доказать неравенство
.
(7.15)
где
.
Доказательство.
Доказательство неравенства (7.15) будем
вести методы от противного. Допустим,
что существуют такие значения
и
,
что
,
при которых выполняется неравенство
.
(7.16)
Из неравенства (7.16) получаем
.
(7.17)
Так
как
и
,
то из неравенство (7.17) следует
Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства (7.15).