![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Раздел 4 методы, основанные на монотонности функций.
- •Раздел 5 посвящен применению методов решения функциональных уравнений.
- •Раздел 8 посвящен методам, основанным на использовании ограниченности функций.
- •1 Метод функциональной подстановки
- •2 Метод тригонометрической подстановки
- •3 Методы, основанные на применении численных неравенств
- •4 Методы, основанные на монотонности функций
- •5 Методы решения функциональных уравнений
- •6 Методы, основанные на применении векторов
- •7 Комбинированные методы
- •8 Метод, основные на использовании ограниченности функций
- •9 Методы решения симметрических системы уравнений
- •10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части
1 Метод функциональной подстановки
Метод
функциональной подстановки является,
пожалуй, самым распространенным методом
решения сложных задач школьной математики.
Суть метода состоит в введении новой
переменной
,
применение которой приводит к более
простому выражению. Частным случаем
функциональной подстановки является
тригонометрическая подстановка.
Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.
Задачи и решения
Пример 1.1. Решить уравнение
(1.1)
Решение.
Введем новую переменную
,
тогда из (1.1) получаем уравнению
Поскольку
обе части полученного уравнения
неотрицательны, то после возведения в
квадрат получаем равносильное уравнение
Отсюда вытекает
и
,
Рассмотрим два уравнения
и
.
Первое
уравнение корней не имеет, а из второго
получаем
и
.
Подстановкой в (1.1) убеждаемся в том, что
найденные значения переменной
является
корнями исходного уравнения.
Ответ:
Пример 1.2. Решить уравнение
Решение.
Нетрудно
видеть, что
и
является корнем уравнения (1.2).
Пусть
теперь
тогда части уравнения (1.2) разделим на
и получим уравнение
(1.3)
Если
обозначить
,
то уравнение (1.3) принимает вид квадратного
уравнения
,
корнями которого являются
и
.
Рассмотрим
уравнения
и
,
откуда следует, что
и
.
Так как
,
то найденные значенияx
являются корнями уравнения (1.2).
Ответ:и
.
Пример 1.3. Решить уравнение
(1.4)
Решение. Перепишем уравнение (1.4) в виде
(1.5)
Положим,
что
и
,
тогда из (1.5) получим уравнение
из которого следует
и
.
Так как
и
,
то
и при этом
.
Поскольку
и
,
то
Отсюда получаем систему уравнений
(1.6)
где
Решением системы уравнений (1.6) относительноu
является
Так как при этом
и
,
то
и
.
Ответ:
Пример 1.4. Решить уравнение
(1.7)
Решение.
Для
преобразования левой части уравнения
(1.7) воспользуемся очевидным равенством
Тогда из уравнения (1.7) имеем
и
Если
затем положить
то получим уравнение
корни которого равны
и
Таким
образом, необходимо рассмотреть два
уравнения
и
,
т.е
и
,
где
Первое уравнение корней не имеем, а из
второго получаем
.
Ответ:
,
.
Пример 1.5. решить уравнение
(1.8)
Решение.
Первоначально убедимся, что
не
является корнем уравнения (1.8).так как
то разделим обе части уравнения (1.8) на
.
Тогда получим
.
(1.9)
Пусть
,
тогда
.
и
из уравнения (1.9) следует
или
Последнее уравнение представим в виде
.
Отсюда следует, что
и
.
Далее,
рассмотрим три уравнения
,
и
.
Первые
два уравнения корней не имеют, а корнями
третьего уравнения
являются
Ответ:
Пример 1.6. Решить неравенство
(1.10)
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби
в левой части неравенства (1.10)
и обозначим
через
Тогда неравенство (1.10) можно переписать
как
и
(1.11)
Решая
неравенство (1.11) с учетом того
,
получаем
.
Поскольку
то
Ответ:
Пример 1.7. Решить уравнение
(1.12)
Решение.
Выполним замену переменных, пусть
и
Так как
и
то
.
Кроме того, имеем
В таком случае из уравнения (1.12) получаем систему уравнений
(1.13)
Пусть
теперь
и
,
тогда из системы уравнений (1.13) следует
и
.
Отсюда с учетом того, что
получаем
и
.
Следовательно, имеет место
и
Поскольку
и
то
и
где
целое
число.
Ответ:где
целое
число.