![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Раздел 4 методы, основанные на монотонности функций.
- •Раздел 5 посвящен применению методов решения функциональных уравнений.
- •Раздел 8 посвящен методам, основанным на использовании ограниченности функций.
- •1 Метод функциональной подстановки
- •2 Метод тригонометрической подстановки
- •3 Методы, основанные на применении численных неравенств
- •4 Методы, основанные на монотонности функций
- •5 Методы решения функциональных уравнений
- •6 Методы, основанные на применении векторов
- •7 Комбинированные методы
- •8 Метод, основные на использовании ограниченности функций
- •9 Методы решения симметрических системы уравнений
- •10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части
6 Методы, основанные на применении векторов
Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.
Вектора
в трехмерном пространстве характеризуется
тремя координатами
и
модуль (длина) вектора
вычисляется по формуле
.
Суммой (разностью) двух векторов
и
называется вектор
,
координаты которого вычисляются как
,
,
(соответственно,
,
,
).
Два различных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.
Для
векторов
и
справедливо
неравенство
,
т.е.
.
(6.1)
Формула (6.1) обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл (6.1) состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула (6.1) иначе называется неравенством треугольника.
Следует
особо отметить, что равенство в (6.1)
достигает тогда и только тогда, когда
векторы
и
коллинеарные.
В частности, из равенства в (6.1) следует,
что
.
Причем
равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
векторы
и
сонаправлены,
т.е.
.
В
свою очередь, равенство
свидетельствует о том, что векторы
,
противоположно направлены
.
Скалярным
произведением
·
векторов
и
называется число(скаляр) , которое
вычисляется по формуле
·
=
,
(6.2)
где
– угол, образованный векторами
и
.
Для
вычисления скалярного произведения
двух векторов
и
,
заданных в координатной форме, существует
еще одна формула
·
=
(6.3)
Из
формул (6.2) и (6.3) легко получить формулу
для вычисления косинуса угла .. между
векторами
и
,
т.е.
(6.4)
Из
формулы (6.2) следует, что векторы
,
являются
коллинеарными тогда и только тогда,
когда
·
=
.
Отметим.
Что формулы (6.1)
(6.4) обобщаются на случай векторов
и
,
заданных вn-мерном
пространстве (где n
).
Задачи и решения
Пример
6.1. Доказать,
если
,
то
(6.5)
где
Доказательство.
Пусть
,
тогда
Введем в рассмотрение вектор
Так
как
то вектор
имеет координаты
и
Поскольку
то неравенство треугольника принимает
вид
(6.6)
Если
в неравенство (6.6) подставить выражения
для
…,
,
то получим требуемое неравенство (6.5).
Пример 6.2. Решить неравенство
(6.7)
Решение.
Пусть
на плоскости вектор
имеет координаты
,
а вектор
- координаты
Тогда имеем
.
Пусть
тогда координаты вектора
будут вычисляться по формулам
.
Отсюда следует, что
Поскольку
то имеет место неравенство треугольника
Если в последнее неравенство подставить
выражения для
то получим неравенство
Отсюда и из (6.7) следует равенство
(6.8)
Равенство
(6.8) означает, что
Отсюда
следует, что векторы
коллинеарные. Используя основное
свойство коллинеарных векторов, получаем
уравнение
,
откуда вытекает
Ответ:
Пример 6.3. Решить уравнение
(6.9)
Решение.
Введем
в рассмотрение два вектора
и
Тогда
Принимая
во внимание уравнение (6.9), получаем
равенство
,
наличие которого свидетельствует о
том, что векторы
являются коллинеарными. Следовательно,
имеет место уравнение
(6.10)
Из
уравнения (6.10) следует, что
Если возвести в квадрат обе части
уравнения (6.10), то получим уравнении
которое
имеет следующих три корня:
Поскольку
то решением уравнения (6.9) являются
Ответ:
.
Пример 6.4. Найти минимальное значение функции
Решение.
Представим
функцию
в виде
(6.11)
Введем
на плоскости векторы
с координатами
соответственно. Так как
,
то из выражения (6.11) следует, что
Пусть
тогда координатами вектора
являются (-5;3) и
Так
как
то
и
Теперь необходимо показать, что полученная
нижняя оценка функции
принимает значение
Если
,
то
т.е. векторы
коллинеарные. Отсюда следует, что
Положим
тогда
Если найденные значения
и
подставить в (6.11), то
Следовательно, минимальное значение
функции
равно
Ответ: