![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Раздел 4 методы, основанные на монотонности функций.
- •Раздел 5 посвящен применению методов решения функциональных уравнений.
- •Раздел 8 посвящен методам, основанным на использовании ограниченности функций.
- •1 Метод функциональной подстановки
- •2 Метод тригонометрической подстановки
- •3 Методы, основанные на применении численных неравенств
- •4 Методы, основанные на монотонности функций
- •5 Методы решения функциональных уравнений
- •6 Методы, основанные на применении векторов
- •7 Комбинированные методы
- •8 Метод, основные на использовании ограниченности функций
- •9 Методы решения симметрических системы уравнений
- •10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части
4 Методы, основанные на монотонности функций
При
решении уравнений типа
в ряде случаев весьма эффективным
является метод, который использует
монотонность функций
и
.
Если функция
непрерывна и возрастает (убывает) на
отрезке
,
а функция
непрерывна и убывает (возрастает) на
этом же отрезке, то уравнение
на отрезке
может иметь не более одного корня.
Напомним,
что функция
называетсявозрастающей
(или
убывающей)
на отрезке
,
если для любых
,
,
удовлетворяющих неравенствам
,
выполняется неравенство
(соответственно,
).
Если функция
является на отрезке
возрастающей или убывающей, то она
называется монотонной на этом отрезке.
В
этой связи при решении уравнения
необходимо иследовать функции
и
на монотонность, и если одна из этих
функций на отрезке
убывает, а другая функция – возрастает,
то необходимо или попытаться подбором
найти единственный корень уравнения,
или показать, что такого корня не
существует. Если, например, функция
возрастает, а
убывает для
и при этом
,
то корней уравнения
среди
нет. Особенно такой метод эффективен в
том случае, когда обе части уравнения
представляют собой весьма «неудобные»
для совместного исследования функции.
Кроме
того, если функция
является монотонной на отрезке
и уравнение
(где с – некоторая константа) имеет на
этом отрезке корень, то этот корень
единственный.
Задачи и решение
Пример 4.1. Решить уравнение
.
(4.1)
Решение.
Областью
допустимых значений уравнения (4.1)
являются
.
Рассмотрим функции
и
.
Известно , что функция
для
являются убывающей, а функция
– возрастающей. В этой связи уравнения(4.1)
может иметь только один корень, т.е.
,
который легко находиться подбором.
Ответ:
Пример 4.2. Решить уравнение
(4.2)
Решение.
Введем новую переменную
.
Тогда
,
и уравнения (4.2) принимает вид
(4.3)
Уравнение
(4.3) имеет очевидной корень
.
Покажем, что других корней нет. Для этого
разделим обе части уравнения (4.3) на
,
тогда
(4.4)
Так
как
,
а
,
то левая часть уравнения (4.4) является
убывающей функцией, а первая часть –
возрастающей функцией. Поэтому уравнения
(4.4) если имеет корень, так только один.
Ранее было установлено, что
корень
уравнения (4.3). Следовательно, этот корень
единственный.
Таким
образом, имеем
.
Тогда единственный корнем уравнения
(4.2) является
.
Пример 4.3. Решить уравнение
(4.5)
Решение.
Разделим обе части уравнения (4.5) на
,
тогда
(4.6)
Подбором
нетрудно установить, что
является корнем уравнения (4.6). покажем,
что других корней это уравнение не
имеет.
Обозначим
и
.
Очевидно, что
.
Следовательно, каждая из функций
и
является убывающей и при этом
.
Если
,
то
,
и
.
Если
,
то
,
и
.
Следовательно,
среди
или
корней уравнения (4.6) нет.
Ответ:
5 Методы решения функциональных уравнений
К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида
(5.1)
или
(5.2)
где
некоторые
функции и
Методы решения функциональных уравнений (5.1), (5.2) основаны на использовании следующих теорем.
Теорема
5.1. Корни
уравнения
являются
корнями уравнения (5.1).
Доказательство.
Пусть
– корень уравнения
т.е.
.
Тогда
справедливы равенства
Отсюда следует, что
т.е.
является корнем уравнения (5.1).
Теорема
5.2. Если
- возрастающая функция на отрезке
то
на данном отрезке уравнения (5.1) и
равносильны.
Доказательство.
Пусть
является корнем уравнения (5.1), т.е.
.
Предположим, что
не является корнем уравнения
,
т.е.
.
Не нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
Тогда в силу возрастания функции
справедливы
неравенства
Так
как
,
то из приведенных выше неравенств
следует
.
Таким образом, получили ложное неравенство.
А это означает, что
.
Отсюда и из теоремы 5.1 следует справедливость теоремы 5.2.
Следствие
1. Если
функция
возрастает для любогоx,
то уравнения (5.1) и f(x)=x
равносильны.
Следствие 2. Если функция y=f(x) возрастает на своей области определения, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.
Более
сложным является решение уравнения
(5.1) в том случае, когда на некотором
отрезке
функция
является убывающей.
В данном случае имеют место аналогии теоремы 5.2 и двух следствий только при условии, что в уравнении (5.1) число n нечетное.
Теорема
5.3. Если
y=f(x)
– убывающая функция на отрезке
нечетное
и
то на данном отрезке уравнения (5.1) иf(x)=x
равносильны.
Доказательство.
Пусть
является корнем уравнения (5.1), т.е.
Предположим,
что
не является корнем уравнения
т.е.
.
Не нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
Тогда в силу убывания функции
на отрезке
получаем неравенства
и
т.д.
Так
как
нечетное, то
.
Поскольку
,
то из последнего неравенства получаем
Так
как
– убывающая функция, то
,
т.е.
.
Получили противоречие тому, что по
предположению
.
Следовательно
Отсюда, с учетом теоремы 5.1, следует справедливость теоремы 5.3.
Следствие 3. Если функция y=f(x) убывает для любого x и n – нечетное, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.
Следствие 4. Если функция y=f(x) убывает на своей области определения и n – нечетное, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.
Так
как в рассмотренных выше случаях функция
является убывающей, то уравнение
может иметь только один корень. Поскольку
уравнение (5.1) с убывающей функцией
и нечетнымn
равносильно
уравнению
,
то уравнение (5.1) также имеет более одного
корня.
Если
в уравнении (5.1)
- убывающая функция, аn
– четное,
то в общем случае уравнения (5.1) и
не являются равносильными. Например,
уравнение
имеет три корня
и только третий корень удовлетворяет
уравнению
В данном случае для поиска корней уравнения (5.1) необходимо проводить дополнительные исследования.
Теорема
5.4. Если
– возрастающая (или убывающая) функция
на области допустимых значений уравнения
(5.2), то уравнения (5.2) и
равносильны.
Доказательство.
1)
Пусть
- корень уравнения (5.2), т.е.
Предположим, что
не
является корнем уравнения
т.е.
.
Не нарушая общности рассуждений, будем
считать, что
Отсюда в зависимости от того, какой
является функцияy=f(x)
на
области допустимых значений уравнения
(5.2) возрастающей или убывающей, получаем
неравенство
соответственно. В каждом из двух случаем
имеем ложное неравенство. Значит,
2)
Пусть
- корень уравнения
Отсюда следует
Следствие
5. Если
возрастающая (или убывающая) функция
на области значений
то уравнения (5.2) и
равносильны.
Также
следует отметить, что при решении
функционального уравнения (5.2) необходимо
внимательно рассматривать случай, когда
функция
является четной.
Теорема
5.5. Если
четная функция
определена на отрезке
и возрастает (или убывает) при
то на данном отрезке уравнение (5.2)
равносильно совокупности уравнений
и
при условии, что
Доказательство
проводится
по аналогии с доказательством предыдущей
теоремы. При этом используется четность
функции
Анализ
функции
на монотонность удобно осуществлять с
помощью производной: если функция
дифференцируема на отрезке
,
то функция
является возрастающей (убывающей) на
данном отрезке.
Задачи и решения
Пример 5.1. Решить уравнение
(5.3)
где
квадратный корень берется n
раз
(
Решение.
Из
условия задачи следует, что
Пусть
тогда уравнение (5.3) принимает вид
функционального уравнения (5.1).
Так
как при
функция
возрастает и
то уравнение (5.3) равносильно уравнению
,
т.е.
положительным решением которого является
Ответ:
Пример 5.2. Решить уравнение
(5.4)
Решение. Перепишем исходное уравнение (5.4) в виде функционального уравнения типа (5.2), т.е.
(5.5)
где
Поскольку
для любого значенияx,
то
функция y=f(x)
является
возрастающей на всей числовой оси
.
Следовательно,
вместо функционального уравнения (5.5)
можно рассматривать равносильное ему
уравнение
,
для которого
является решением.
Ответ:
Пример 5.3. Решить уравнение
(5.6)
Решение. Преобразуем уравнение (5.6) следующим образом:
Отсюда получаем уравнение
(5.7)
Пусть
тогда уравнение (5.7) принимает вид
(5.8)
Так
как функция
является убывающей на всей числовой
осиOx,
то
(согласно Следствию 3) уравнение (5.8)
равносильно уравнению
т.е. уравнение (5.7) равносильно уравнению
Отсюда следует уравнение
которое имеет единственный действительный
корень
.
Ответ:
.
Пример 5.3. Решить уравнение
(5.9)
Решение.
Поскольку
при всехx,
то областью допустимых значений уравнения
(5.9) является множество всех действительных
чисел.
Положив
увидим, что заданное уравнение (5.9)
принимает вид
где
Так как их
следует, что
то
функция
является возрастающей на области
значений функций
В этой связи уравнение (5.9) равносильно
уравнению
и,
следовательно, имеет два корня
Ответ: