- •Линейная и векторная алгебра
- •Общие методические указания
- •Операции над матрицами.
- •Определители матриц второго и третьего порядка.
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Построение общего решения методом Гаусса:
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3.
- •Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •4 Прямая на плоскости
- •Плоскость.
- •Прямая и плоскость в пространстве.
- •Задание 4.
- •Задание 7.
- •Задание 8
- •Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
4 Прямая на плоскости
Если в системе координат на прямой, перпендикулярной нормальному вектору, задана точка, то выбрав на этой прямой произвольную точку, векторможно записать через координаты в виде
Используя условие перпендикулярности двух векторов , получаем уравнение(1)
которое носит название уравнения прямой, проходящей через данную точку.
После раскрытия скобок уравнение (1) принимает вид:
(2)
где . Уравнение (2) называетсяобщим уравнением прямой на плоскости.
Если , или
, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом, а величина определяет ординату точки пересечения прямой с осью .
Если на плоскости заданы две точки, тоуравнение пучка прямых имеет вид: (3)
(4)
Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Возьмем точки и подставим в уравнение (4). Получим–уравнение прямой в отрезках на осях. (5)
Если две прямые заданы уравнениями, то тангенс угла между ними вычисляется по формуле
(6)
В случае задания двух прямых общими уравнениями прямых можно выразить косинус одного из смежных углов между ними на основе формулы скалярного произведения двух нормальных векторов:
(7)
Из формулы (7) следует условие перпендикулярности прямых:
, или ,
а из формулы (6) – условие параллельности прямых:
или
Для определения расстояния от точки до прямой, заданной в общем виде, можно использовать формулу.
Задания:
Дано общее уравнение прямой . Написать:
а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осьюугол в.
Определить расстояние между прямыми
Написать уравнение перпендикуляра к прямой , проходящего через точку.
Плоскость.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору, получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть- произвольная точка плоскости. Тогдаи по условию перпендикулярности векторов
(8)
Уравнение (8) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. После раскрытия скобок в данном уравнении получим общее уравнение плоскости в пространстве:
(9)
Угол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле:
, где - нормальные векторы плоскостей++.
Условие параллельности плоскостей имеет вид
Условием перпендикулярности плоскостей является равенство:
(10)
Расстояние от точки до плоскостиопределяется по формуле (11)
Задания:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точкии
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и образующей уголс плоскостью
Найти расстояние от точки до плоскости
Прямая и плоскость в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимся плоскостями, уравнения которых +и+. Тогда уравнения прямой будут
(12)
Уравнения (12) называют общими уравнениями прямой.
Уравнения прямой , проходящей через точкуи параллельной вектору, получаются на основе условия коллинеарности двух векторови: - каноническое уравнение прямой
Вектор называетсянаправляющим вектором прямой.
Условие параллельности двух прямых имеет вид:, гдеикоординаты направляющих векторов.
Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде:
.
Угол между прямой и плоскостьюопределяется выражением (13)
Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
(14)
Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства:
(15)
Задания:
Написать уравнение прямой, проходящей через точки ии найти ее направляющие косинусы.
Показать, что прямая параллельна плоскостиа прямаялежит в этой плоскости.
Индивидуальные задания