- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
Сетевое планирование и управление комплексами работ (программами, проектами) включает три основных этапа: структурное планирование, календарное планирование и оперативное управление.
Этап структурного планирования начинается с разбиения проекта на четко определенные работы (операции). Затем определяются оценки продолжительности работ, и строится сетевая модель. Кстати, при поразительном сходстве независимо разработанных методов РЕRТ и СРМ (упомянутых в самом начале), существенным различием первоначально было то, что в методе СРМ оценки продолжительности работ предполагались детерминированными величинами, а в методе РЕRТ – случайными. Построение сетевой модели на этапе структурного планирования позволяет детально проанализировать все работы и внести улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации.
Конечной целью этапа календарного планирования является построение календарного графика работ. Выявленным работам критического пути необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в директивный срок. Что касается некритических работ, то их резервы времени можно выгодно использовать при задержке выполнения таких работ или с позиций эффективного использования ресурсов.
Заключительным этапом является оперативное управление процессом реализации проекта. Этот этап включает использование сетевой модели и календарного графика для составления периодических отчетов о ходе выполнения проекта. Случаи, когда на этапе планирования удается разработать календарный план, в точности соблюдаемый на этапе реализации проекта, встречаются крайне редко. Как правило, некоторые работы выполняются быстрее или медленнее, добавляются новые и упраздняются старые, что, естественно, зависит от конкретных условий. При возникновении таких отклонений от исходного календарного плана возникает необходимость разработки нового плана для остальной части проекта. В этом случае уже законченным работам приписываются нулевые значения продолжительности. Частично выполненным работам приписываются оценки продолжительности, соответствующие их незавершенному объему. В сеть вносятся также структурные изменения, т.е. исключаются работы, которые по каким-либо причинам стали излишними, и вводятся работы, не предусмотренные ранее, но необходимые в будущем. После этого рассчитывается новый календарный план и оценивается возможное изменение продолжительности проекта. В реальных условиях частые корректировки календарного плана, как правило, требуются на начальном этапе реализации проекта. Затем процесс выполнения переходит в установившийся режим и число требуемых корректировок календарного плана существенно сокращается.
Рассмотренные нами традиционные сетевые модели обладают рядом недостатков: в таких сетевых моделях адекватно можно отобразить только независимо или последовательно выполняемые работы. Другие схемы выполнения работ (например, параллельное или частично совмещенное их выполнение) не подаются точному описанию. Чтобы отобразить подобные ситуации в традиционных сетевых моделях, прибегают к раздроблению работ. Например, работу «монтаж коробки здания» разбивают на работы «монтаж 1-го этажа», «монтаж 2-го этажа» и т.д., работу «отделка здания» на «отделку 1-го этажа», «отделку 2-го этажа» и т.д. Фрагмент сетевой модели представляется тогда в следующем виде:
Монтаж 1 эт. Монтаж 2 эт. Монтаж 3 эт.
Отделка 1 эт. Отделка 2 эт. Отделка 3 эт.
Такой прием усложняет построение модели, увеличивает число работ сети, делает модель менее гибкой по отношению, например, к последовательности раздробленных работ или к изменению их продолжительностей. Кроме того, не исключено появление календарного плана, при котором работа «монтаж коробки здания» ведется с перерывами, что может быть неприемлемым в связи с требованием использования какого-либо ресурса (бригады, механизма) без простоя.
Традиционные сетевые модели, отражая одновариантную технологию и организацию работ, обладают низкой «устойчивостью» по отношению к изменениям, происходящим в объекте моделирования в процессе его функционирования, т.к. даже незначительные изменения в технологии выполнения работ требуют внесения существенных изменений в топологию сети.
Более адекватным развитием традиционных сетевых моделей являются обобщенные, вероятностные, альтернативные и стохастические модели, подробно представленные в [1].
Каждая из данных моделей имеет свою предметную область, по-своему (более или менее полно) реализует базовые функции управления проектом, и только синтез перечисленных моделей и методов позволяет построить модель, адекватно отражающую процесс реализации сложного проекта в условиях неопределенности, и при этом получить приемлемое в практическом отношении решение сформулированной задачи.
Следует отметить, что до настоящего времени широкое практическое применение нашли только методы детерминированного сетевого моделирования, некоторые эвристические методы оптимального распределения ресурсов и параметрические методы оценки затрат (преимущественно в сфере воздушных и космических полетов). Хотя точное решение стоимостных задач календарного планирования на основе классических сетевых моделей теоретически найдено, но его практическое использование сопряжено с трудностью получения фактических данных о зависимостях «время-стоимость».