- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
Задания и задачи
Задача 1. Функция полезности индивида: u =(QA + 4)(QB + 5), где QA, QB – количества двух различных благ, его бюджет: М = 64, а цены благ pA = 1, pB = 1.5. Запишите уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия.
Задача 2. Функция спроса на газ имеет вид QD = 3.75pn – 5pg, а функция его предложения – QS = 14 + 0.25pn + 2pg, где pn, pg – соответственно цены нефти и газа. При каких ценах на данные энергоносители объемы спроса и предложения газа будут равны 20 ед.?
Задача 3. В условиях задачи 2 определить, на сколько процентов изменится объем продажи газа при увеличении цены нефти на 25%.
Задача 4. На рынке данного товара функция спроса описывается уравнением: QD = 6 – P, функция предложения: QS = –3 + 2P, где QD – объем спроса, млн. шт. в год; QS – объем предложения, млн. шт. в год;
а) определите равновесную цену и равновесный объем продажи;
б) если цена данного товара будет составлять 2 ден. ед., что образуется на рынке: излишек или дефицит товара? В каком размере?
в) какая ситуация будет на рынке, если цена возрастет до 4 ден. ед.?
Задача 5. Опытным путем установлены функции спроса q = (p+8)/(p+2) и предложения s = p + 0,5 , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Задача 6. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 7 – p и s = p + 1. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.
Задача 7. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?
Задача 8. Спрос на товар А (яблоки) описывается уравнением QdА=100 – 2РА + РВ; спрос на товар В (груши) – уравнением QdВ =100–2PВ+PА. Предложение товара А описывается уравнением QsА = –50 + РА; предложение товара В – уравнением QsB = –50 + PB.
Задача 9. Определите параметры рыночного равновесия на двух рынках; как изменятся параметры рыночного равновесия, если на товар В (груши) будет введен налог в размере 10 ден. ед. за единицу товара; выгодно ли государству это делать. Рассчитайте изменение общественного благосостояния. Сравните потери общественного благосостояния в случае, если такой налог будет введен на двух рынках одновременно.
Задача 10. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Записать задачу потребителя.
Задача 11. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Изобразить геометрически бюджетное множество, отметить бюджетную линию.
Задача 12. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Изобразить геометрически кривую безразличия U(x,y) = 4500.
Задача 13. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Какова предельная полезность потребителя по каждому товару?
Задача 14. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Решить задачу потребителя.
Задача 15. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е., второго – 22 д.е. Функция полезности потребителя – U(x,y) = 60x + 90y. Определить максимальную полезность потребителя от потребления этих двух товаров.
Задача 16. Спрос потребителя на некоторый товар в зависимости от цены определяется функцией d(p) = –0,3p + 60. Определить коэффициент ценовой эластичности при p = 120, p = 60.
Задача 17. Спрос потребителя на некоторый товар в зависимости от цены определяется функцией d(p) = –0,3p + 60. При какой цене коэффициент эластичности равен единице?
Задача 18. Спрос потребителя на некоторый товар в зависимости от цены определяется функцией d(p) = –0,3p + 60. Эластичен ли спрос при p = 120, p = 60?
Задача 19. Исследовался спрос на товар двух групп потребителей. Функции спроса в зависимости от цены, предъявляемые каждой группой, имеют вид: d1(p) = –0,2p + 80, d2(p) = –0,4 + 60. Построить совокупную функцию спроса.
Задача 20. Исследовался спрос на товар двух групп потребителей. Функции спроса в зависимости от цены, предъявляемые каждой группой, имеют вид: d1(p) = –0,2p + 80, d2(p) = –0,4 + 60. Чему равен совокупный спрос при p = 100 д.е., p = 200 д.е.?
Задача 21. Исследовался спрос на товар двух групп потребителей. Функции спроса в зависимости от цены, предъявляемые каждой группой, имеют вид: d1(p) = –0,2p + 80, d2(p) = –0,4 + 60. Изобразить геометрически спрос каждой группы и совокупный спрос.
Задача 22. Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом: yA = 600, yВ = 80 + 0,7х, yС= 40х0,5. Определить коэффициенты эластичности по каждому виду продукции.
Задача 23. Фирма работает в условиях совершенной конкуренции: выпускает один вид продукции, используя при этом два вида ресурсов. Производственная функция фирмы равна f(x,y) = 80xy, цена реализации продукции – 120 д.е., ресурсы приобретаются по ценам W1 = 20 д.е., W2 = 15 д.е. соответственно.
а) Записать функцию прибыли.
б) Записать условия максимума прибыли.
в) Решить задачу фирмы максимизации прибыли.
г) Построить изокванту f(x,y) = 6400.
д) Построить изокосту C(x,y) = 3000.
Задача 24. Предприятие вырабатывает игрушки, которые продает на совершенно конкурентном рынке по 5 ден. ед. за штуку. Производственная функция задана уравнением Q = 30L – 0,5L2, где Q – количество игрушек за месяц; L – количество рабочих, чел. Напишите формулу для вычисления стоимости предельного продукта труда на данном предприятии. Если текущая ставка заработной платы составляет 50 ден. ед. в месяц, сколько рабочих наймет предприятие? Если заработная плата в данном регионе увеличится до 100 ден. ед. и предприятие вынужденное будет и себе повысить ставку заработной платы, как в результате изменятся экономические показатели предприятия: объем производства, прибыль, занятость. При какой ставке заработной платы предприятие вынужденное будет остановиться?
Задача 25. Рассмотрим ПФ X = 2.341K0.264L0.678 и показатели экономики некоторой страны: валовой продукт возрос с 2000 по 2009 г. в 1.47 раза, ОПФ за этот же период увеличились в 1.88 раза, а число занятых – в 1.24 раза. Вычислить по ней масштаб и эффективность производства.
Задача 26. Для ПФ Кобба-Дугласа (Задача 3) найти в явном виде нормы замещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами.
Задача 27. Производственная функция фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , гдеx – затраты капитала, y – затраты труда. а) Рассчитать выпуск при x = 243, y = 32.
б) Рассчитать предельную и среднюю производительность труда при x= 243, y = 32.
в) Рассчитать предельную и среднюю фондоотдачу при x = 243, y = 32.
Задача 28. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:
X= –4+24х1+ 2x1x2+6x2 –,
где x1, x2 – затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов.
Задача 29. Производственная функция вида:
X=5описывает зависимость между затратами ресурсовx1, x2, x3 и выпуском X. Определить максимальный выпуск, если x1+ x2+ x3=9. Каковы предельные продукты в оптимальной точке?
Задача 30. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:
X=3.
Определить предельные продукты по ресурсам и построить изокванту Х=3. Найти норму замены первого ресурса вторым в точке x1+ x2=1.