4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)

Предприятию задан план производства m видов продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить b_i (i=1,…,m) единиц продукции каждого типа. Продукция производится на станках n типов. Для каждого станка известны производительность a_ij (то есть, количество продукции j-го вида, которое можно произвести на станке i-го типа) и затраты c_ij на изготовление продукции j-го вида на станке i-го типа в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Обозначим x_ij – время, в течение которого станок i-го типа будет занят изготовлением продукции j-го вида (i = 1,…, m; j = 1,…, n).

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией F = c_ijּx_ij, которую нужно минимизировать.

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства: a_ijּx_ij = b_i (i=1,…, n).

Кроме того, x_ij ≥ 0 (i = 1,…,m; j = 1,…, n).

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то система ограничений может быть дополнена неравенствами:

x_ij ≤ T (i = 1,…, n).

5. Задача о раскрое материалов.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве A единиц. Требуется изготовить из него m разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b_i (i = 1,…, m) – условие комплектности.

Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа (j = 1,…, n) дает a_ij единиц i-го изделия (i = 1,…, m).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающее максимальное количество комплектов.

Обозначим x_j – число единиц материала, раскраиваемых j-ым способом,

x – число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x_j = A.

Требование комплектности выразится уравнениями

x_jּa_ij = b_iּx (i = 1,…, m)

Кроме того x_j ≥ 0 (j = 1,…, n).

2.2.8. Практический блок Пример

Составить математическую модель задачи линейного программирования и найти решение геометрическим способом.

1. По данным, приведенным в таблице 2.2.3 составить систему математических зависимостей (неравенств) и целевую функцию.

2. Изобразить геометрическую интерпретацию задачи и найти оптимальное решение.

3. Провести аналитическую проверку и определить значение целевой функции.

4. Определить избытки ресурсов.

5. Вычислить объективно обусловленные оценки.

6. Исследовать устойчивость решения.

Таблица 2.2.3 – Матрица удельных нормативов.

Продукция	Сырье			Прибыль на одно изделие
	Рес. 1	Рес. 2	Рес. 3
I. Изделие 1	2.4	8.0	6.2	50 ()
II. Изделие 2	12.2	5.4	2.2	40 ()
Наличие ресурсов	500	470	340	–

Решение:

1. Обозначим:

–объем изделия 1;

–объем изделия 2.

Опишем модель с помощью системы неравенств линейных уравнений:

;

;

;

;

–целевая функция (критерий оптимальности).