Рисунки до задач к.4.0 - к.4.6
Рисунки до задач к.4.7 - к.4.9
Дано: с-1 ;см;
см; с.
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.
Розв’язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по прямій ВD відносним, а обертання пластини – переносним рухом (див. рис. 27.15). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:
,
де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.
У загальному випадку:
.
Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.
-
Відносний рух. Цей рух проходить за законом:
, см.
Установимо положення точки М на траєкторії відносного руху при с:
см.
Додатково визначимо:
;
.
Тепер знайдемо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:
;
;
.
П
Рис.
27.15
см/с;
см/с2;
.
(оскільки траєкторія відносного руху - пряма ВD, то радіус кривизни ). Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку S .
2. Переносний рух. Це обертання з кутовою швидкістю с-1 .
Кутове прискорення цього обертання:
.
Визначимо відстань точки від осі обертання:
см.
Тоді в момент часу с:
см/с;
;
см/с2.
Зображаємо вектори і на рис. 27.15: вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до точки О (до осі обертання).
3. Визначення прискорення Коріоліса.
Прискорення Коріоліса визначається так:
.
Модуль прискорення Коріоліса:
Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:
см/с2.
Напрямок прискорення визначається в даному випадку так: потрібно повернути вектор у бік , тобто проти ходу годинникової стрілки, на . Одержаний напрямок і буде напрямком прискорення Коріоліса .
4. Визначення абсолютної швидкості . Оскільки
,
то на векторах і побудуємо паралелограм швидкостей. Діагональ побудованого паралелограма і буде вектором абсолютної швидкості .
Модуль абсолютної швидкості:
У даному випадку
.
З трикутника :
Тоді, при с:
см/с.
5. Визначення абсолютного прискорення . За теоремою про складання прискорень, оскільки
і ,
одержимо
.
Для визначення абсолютного прискорення проведемо осі координат та обчислимо проекції вектора на ці осі:
см/с2;
см/с2.
Тоді для моменту часу с:
см/с2.
Відповідь: см/с ; см/с2.
Приклад 1 розв’язання задачі К.4. Другий та третій рівні складності
Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.16). Вісь обертання перпендикулярна до площини пластини та проходить через точку О (пластина обертається у своїй площині). По пластині вздовж прямої ВD рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t – у секундах).
Дано:рад; см;
см; с.
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.
Розв’язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по прямій ВD відносним, а обертання пластини – переносним рухом (див. рис. 27.16). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:
,
де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.
У загальному випадку:
.
Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.
1. Відносний рух. Цей рух проходить за законом см.
Рис. 27.16
Установимо положення точки М на траєкторії відносного руху при с:
см.
Додатково визначимо:
;
.
Тепер знайдемо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:
;
;
.
При с:
см/с;
см/с2;
(оскільки траєкторія відносного руху - пряма ВD, то радіус кривизни ). Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку S .
2. Переносний рух. Це обертання за законом рад. Визначимо кутову швидкість та кутове прискорення цього обертання:
;
с.
При с:
с.
Знаки показують, що при с напрямки і співпадають з напрямком додатного відліку кута .
Визначимо відстань точки від осі обертання:
см.
Тоді в момент часу с:
см/с;
см/с;
см/с.
Зображаємо вектори і на рис. 27.16 перпендикулярно до відстані у бік дугових стрілок і відповідно. Вектор направлений від точки до осі обертання .
3. Визначення прискорення Коріоліса. Прискорення Коріоліса визначається так:
.
Модуль прискорення Коріоліса:
Оскільки кут між векторами і дорівнює 90, то в момент часу с:
см/с2.
Напрямок прискорення визначається в даному випадку так: потрібно повернути вектор у бік , тобто проти ходу годинникової стрілки, на . Одержаний напрямок і буде напрямком прискорення Коріоліса .
4. Визначення абсолютної швидкості . Оскільки
,
то на векторах і побудуємо паралелограм швидкостей. Діагональ побудованого паралелограма і буде вектором абсолютної швидкості .
Модуль абсолютної швидкості:
У даному випадку:
.
З трикутника :
.
Тоді при с:
см/с.
5. Визначення абсолютного прискорення . За теоремою про складання прискорень одержимо, оскільки
.
Для визначення абсолютного прискорення проведемо осі координат та обчислимо проекції вектора на ці осі:
см/с2;
см/с2.
Тоді для моменту часу с:
см/с.
Відповідь: см/с; см/с.
Приклад 2 розв’язання задачі К.4. Перший рівень складності
Кругла пластина радіуса R обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.17). Вісь обертання ОО1 лежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).
На пластині по колу радіуса R рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t – у секундах).
Дано: с-1; ; см; см; с.
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.
Розв’язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по дузі АD відносним рухом, а обертання пластини – переносним рухом (див. рис. 27.17). Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:
,
де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.
У загальному випадку:
.
Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.
-
Відносний рух. Цей рух проходить за законом:
, см.
Установимо положення точки М на дузі АD у момент часу с:
см.
Центральний кут цієї дуги:
.
З
Рис.
27.17
Тепер знаходимо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:
;
;
При с:
см/с;
см/с2;
см/с2.
Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку дуги . Вектор має напрямок до центра кривизни С дуги АD.
2. Переносний рух. Це обертання з кутовою швидкістю с-1 .
Визначимо кутове прискорення переносного обертання:
.
Визначимо відстань від точки М1 до осі обертання:
см.
Тоді в момент часу с:
см/с;
;
см/с2.
Зображаємо вектори і на рис. 27.17: вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до осі обертання.
3. Визначення прискорення Коріоліса.
Прискорення Коріоліса визначається так:
.
Модуль прискорення Коріоліса:
Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:
см/с2.
Напрямок прискорення знайдемо, спроектувавши вектор на площину, перпендикулярну до осі обертання (проекція має напрямок, протилежний до прискорення ), і повертаючи потім цю проекцію на 900 у бік дугової стрілки , тобто за ходом годинникової стрілки.
4. Визначення абсолютної швидкості.
Оскільки
і
,
то
і при с:
см/с.
5. Визначення абсолютного прискорення .
За теоремою про складання прискорень, оскільки , одержимо:
.
Для визначення абсолютного прискорення у момент часу с проведемо осі та обчислимо проекції вектора на ці осі:
см/с2;
см/с2;
см/с2.
При с:
см/с2.
Відповідь: см/с ; см/с2.
Приклад 2 розв’язання задачі К.4. Другий та третій рівні складності
Кругла пластина радіуса R обертається навколо нерухомої осі за законом (рис. 27.18). Вісь обертання ОО1 лежить у площині пластини (пластина обертається в просторі).
На пластині по колу радіуса R рухається точка М; задано закон її відносного руху, тобто залежність (S виражено в сантиметрах, t – у секундах).
Дано: рад; ; см; см; с.
Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М.
Розв’язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи її рух по дузі АD відносним рухом, а обертання пластини – переносним рухом (див. рис. 27.18).
Тоді абсолютна швидкість та абсолютне прискорення визначаться так:
,
де - швидкість і прискорення відносного руху; - швидкість і прискорення переносного руху; - поворотне або коріолісове прискорення.
У загальному випадку:
.
Визначимо всі характеристики відносного та переносного рухів.
-
Відносний рух. Цей рух проходить за законом:
, см.
Установимо положення точки М на дузі АD у момент часу с:
см.
Центральний кут цієї дуги:
.
Зображаємо на рис. 27.18 точку в положенні М1, що визначається даним кутом.
Тепер знаходимо числові значення кінематичних характеристик відносного руху:
;
;
При с:
см/с;
см/с2;
Рис.
27.18
Знаки показують, що вектори і мають напрямки в бік додатного відліку дуги . Вектор має напрямок до центра кривизни С дуги АD.
-
Переносний рух. Це обертання за законом рад.
Визначимо кутову швидкість та кутове прискорення переносного обертання:
;
.
При с:
с-1;
с-2.
Знаки показують, що при с напрямок дугової стрілки співпадає з напрямком , а напрямок дугової стрілки до нього протилежний.
Визначимо відстань від точки М1 до осі обертання:
см.
Тоді в момент часу с:
см/с;
см/с2;
см/с2.
Зображаємо вектори , і на рис. 27.18: вектор у бік дугової стрілки , вектор у бік дугової стрілки , вектор - від точки до осі обертання.
3. Визначення прискорення Коріоліса.
Прискорення Коріоліса визначається так:
.
Модуль прискорення Коріоліса
Оскільки кут між векторами і дорівнює (вектор розташований на осі обертання), то в момент часу с:
см/с2.
Напрямок прискорення знайдемо, спроектувавши вектор на площину, перпендикулярну до осі обертання (проекція має напрямок, протилежний до прискорення ), і повертаючи потім цю проекцію на 900 у бік дугової стрілки , тобто за ходом годинникової стрілки.
4. Визначення абсолютної швидкості.
Оскільки
і
,
то
і при с:
см/с.
5. Визначення абсолютного прискорення .
За теоремою про складання прискорень:
.
Для визначення абсолютного прискорення в момент часу с проведемо осі та обчислимо проекції вектора на ці осі:
см/с2;
см/с2;
см/с2.
При с:
см/с2.
Відповідь: см/с ; см/с2.