Лекція № 3. Взаємне положення двох прямих

План лекції

1. Паралельність двох прямих.

2. Перетинні прямі.

3. Мимобіжні прямі.

4. Взаємноперпендикулярні прямі (одна із них – пряма рівня).

5. Теорема про проекіювання прямого кута.

1. Паралельні прямі. Дві прямі паралельні, якщо їх проекції на П1, П2, П3 також паралельні. Для прямих загального положення достатньо паралельності проекцій на двох площинах П1 та П2.

Рішення задач з цього розділу поділяються на дві групи:

1. Побудування прямої, паралельної до заданої

2. Перевірка паралельності двох прямих.

Рішення обох задач розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1:

Через точку А побудувати L║m.

L є m

L ║ m

────

Дамо загальну схему рішення будь-якої геометричної задачі:

Рис. 3.1

I) Аналізуємо графічні умови задачі (з’ясовуємо основні властивості проекцій геометричних образів, а також їх положення відносно площин проекцій)

II) Визначаємо послідовність побудування, а також ту площину проекцій, на якій починають виконувати побудування.

Рішення:

1. L2 є A2

L2║m2

2. L1 є A1

L1║m1

────

L║m

(рис. 2.11)

Приклад2:

Перевірити паралельність прямих AB та CD.

A₃B₃╫C₃D₃

AB╫CD (рис. 3.2). Рис. 3.2

2. Перетинні прямі. У перетинних прямих проекції також перетинаються і крім того, проекції точки перетину знаходяться на одній лінії проекційного зв’язку, бо точка перетину одночасно належить відразу Рис. 3.3

до двох прямих і є їх спільною точкою.

Рішення типових задач цього розділу розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1:

Через точку А побудувати пряму L , пересічну до m:

A, m

1. L₂ є А₂

L₂∩m₂=K₂ Рис. 3.4

2. K₁ є m₁

3. A₁K₁ – L₁∩m₁

─────────

L∩m=K (рис. 3.4)

Приклад 2:

Визначити взаємне положення двох прямих АB та СD.

1. A₃B₃∩C₃D₃=K₃

2. A₂B₂∩C₂D₂≠K₂

3. A₁B₁∩C₁D₁=K₁

─────────

CDAB (рис. 3.5)

Приклад 3:

Прямі L, m перетнути прямою n.

1. n₂∩L₂=K₂

n₂∩m₂=K^/₂

2. K₁ є L₁

K^/₁ є m₁

3. K₁ K^/₁ - n₁

───────

Рис. 3.5 n×L=K, n×m=K^/ (рис. 3.5)

3. Мимобіжні прямі.У мимобіжних прямих проекції пересічні, але проекції точки перетину не розташовані на одній лінії проекційного зв’язку, бо мимобіжні прямі не перетинні і не мають спільної точки. Точка перетину проекцій мимобіжних прямих – це в дійсності дві точки, які належать до різних прямих.

L • m

В цьому випадку виникає задача по визначенню видимості конкуруючих

Рис. 3.6 точок (рис. 3.6).

На П1 буде видима точка, фронтальна проекція якої розташована вище відносно вісі х.

Проекції розташовані довільно. На П2 буде видима точка, горизонтальна проекція якої розташована нижче відносно вісі х.

4. Взаємно-перпендикулярні прямі (одна з прямих – пряма рівня).Рішення цієї задачі починають на тій площині проекцій, до якої паралельна задана пряма, бо на цій площині ми маємо натуральну величину прямої, а також її натуральне положення відносно осей проекцій.

Приклад:

Через точку А побудувати пряму L┴ до n.

L є A, L┴ n

1. L₁ є A₁

L₁×n₁=K₁

2. K₂ є n₂ Рис. 3.7

3. K₂A₂ – L₂ (рис. 3.7)

5. Теорема про проекціювання прямого кута. Прямий кут проекціюється в натуральну величину, якщо хоч одна з його сторін паралельна до цієї площини проекцій.

1. <ABC=90°

2. AB║П1

AB║ A₁B₁; BC╫П1

─────────

<A₁B₁C₁=90°

─────────

1. AB┴BC

2. AB┴BB₁(на основі ортогонального методу проекціювання) Рис. 3.8

3. BB₁×BC - ∑

4. B₁C₁ є ∑

5. AB┴∑

6. AB║ A₁B₁

7. A₁B₁┴∑

8. Так як B₁C₁ є ∑ , то A₁B₁┴ B₁C₁

─────────

<A₁B₁C₁=90° (рис. 3.8)

Контрольні питання

1. Як розташовані проекції паралельних прямих?

2. Як розташовані проекції пересічних та мимобіжних прямих?

3. Як визначають видимість конкуруючих точок на П₁ та П₂?

4. Сформулюйте теорему про проекціювання прямого кута.