Приклади для самостийного розв’язання

1. Спростити вираз за допомогою властивостей векторного добутку та таблиці векторного добутку ортів. Перевірити результат за формулою (1).

2. Дано вектори і. Знайти: 1)2) площу паралелограма, побудованого на векторахі. Побудувати паралелограм на векторахіта вектор.

3. Дано точки А(2,-4,3), В(2,3,-1) і С(-1,4,3). Обчислити площу трикутника АВС.

4. Дано вектори і. Знайти векторний добутокдвома способами: 1) перетворенням даного виразу за допомогою властивостей векторного добутку; 2) вираженням векторівічерез орти і наступним застосуванням формули (1).

5. Знайти орт , перпендикулярний векторамі.

6. Сила прикладена до точки А(1,-5,3). Знайти її момент відносно початку координат.

7. Сила прикладена до точки А(2,6,-1). Знайти її момент відносно точки В(6,-2,5).

8. Дано три сили ,,, прикладені в точці А(-2,3-3). Знайти момент рівнодійної цих сил відносно точки В(1,2,-2), а також величину цього моменту.

9. Дано трикутник А(8,-10,12), В(6,-14,16) і С(16,-4,16). Знайти довжину висоти , яка проведена з вершини С.

Відповіді: 1. .2. . 3. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. 10.

2.10. Мішаний добуток трьох векторів

Означення. Мішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів (позначається) називається скалярна величина, що дорівнює скалярному добуткові векторана вектор.

Знайдемо об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах (див. рис. 24).

Рис. 24

Таким чином, об’єм паралепіпеда, побудованого на векторах , зведених до однієї точки О, дорівнює з точністю до знаку мішаному добутку цих векторів.

Формула мішаного добутку в координатній формі може бути отримана при послідовному виконанні дій

Приклад. Знайти об’єм паралепіпеда, побудованого на векторах .

Відповідь: (од.куб.)

Властивості мішаного добутку векторів.

1. Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю (), тобто

(3)

• умова компланарності трьох векторів.

Властивості 2 і 3 випливають з того, що парна перестановка рядків визначника не змінює його знак, а непарна змінює на протилежний.

Об’єм піраміди, побудованої на векторах дорівнюєоб’єму відповідного паралелепіпеда, тобто

З двох знаків «» вибираємо такий, щоб об’єм V був невідємним.

Приклад. Знайти об’єм піраміди з вершинами в точках А(0,-5,1), В(4,1.0), С(2,5,2) і S(3,-1,7).

Розв’язання. Знайдемо вектори

Обчислимо мішаний добуток векторів

,

.

Приклади для самостійного розв’язання:

1. Дано вектори Необхідно: 1) Знайти спочатку векторний добуток, а тоді скалярний; 2) обчислитиза формулою (2); 3) обчислити.

2. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах

3. Знайти об’єм піраміди побудованої на векторах ,,.

4. Обчислити об’єм піраміди з вершинами в точках А(2,-3,5), В(0,2,1), С(-2,-2,3) і D(3,2,4).

5. Обчислити висоту AM піраміди АВСD, яка опущна з точки А на площину BCD, якщо вершини піраміди містяться в точках А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), Д(3,4,-3).

6. Встановити, чи компланарні вектори:

1)

2)

7. З’ясувати, чи лежать точки А(3,0,0), В(1,1,8), С(2,1,6), D(3,1,4) в одній площині.

8. Довести, що вектори лінійно залежні та виразити лінійночерезі.

Відповіді: 1. 111. 2. 72. 3. 12. 4. 6. 5. . 6. 1) так; 2) ні.

7. Так. 8. .

124