- •Іі. Вектори
- •2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •2.2. Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі
- •2.3. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
- •2.4. Базис. Декартові система координат. Дії над векторами в координатній формі
- •Приклад для самостійного розв’язання
- •2.5. Прямокутна декартова система координат
- •3°. Два вектори рівні, якщо у них рівні відповідні координати.
- •Координати вектора, заданого початковою і кінцевою точками
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •2.6. Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •2.8. Скалярний добуток векторів
- •Задачі для самостійного розв’язання
- •2.9. Векторний добуток двох векторів
- •Деякі застосування векторного добутку
- •Приклади для самостийного розв’язання
- •2.10. Мішаний добуток трьох векторів
- •Приклади для самостійного розв’язання:
Іі. Вектори
2.1. Вектори. Лінійні операції над векторами
1. Скалярні і векторні величини. Величина, для характеристики якої досить її числового значення у відповідних одиницях вимірювання, називається скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, температура, довжина, площа, об’єм, кількість тепла і т.п.
Величина, для характеристики якої крім числового значення вказується ще і напрямок в просторі, називається векторною. Наприклад: сила, швидкість, прискорення, напруженість поля (електростатичного, магнітного, електромагнітного) і т.п.
Геометричним зображенням векторної величини в заданому масштабі є вектор.
Вектором називається відрізок заданої довжини і вказаним напрямком в просторі, тобто направлений відрізок.
В
А
Рис. 1
На рис. 1 А - початкова точка вектора, В - кінець вектора, вектор позначають . Для зручності запису замість символа «» над вектором будемо писати «— ». Іноді вектор позначають однією буквою: . Відстань від точки А до точки В називаютьдовжиною або модулем вектора і позначають або .
Якщо початок і кінець вектора збігаються, то такий вектор називається нульовим і позначають . Напрямок нульового вектора може бути довільним.
Два ненульові вектори, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій називають колінеарними, позначається . Нульовий вектор вважається колінеарним довільному вектору.
Вектори паралельні одній і тій же площині, або ті що лежать в одній площині називаються компланарними.
Рівними називаються два вектори, якщо вони задовольняють умови:
1) вони колінеарні,
2) їх модулі рівні,
вони направлені в одну сторону, тобто
Наприклад, на рис. 2, де АВСD - паралелограм,
Рис. 2
вектори
Якщо , то вектори-протилежні. Вектор протилежний вектору позначають. Векторпротилежний векторуі записують=.
З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити в просторі паралельно самому собі, такі вектори називають вільними.
Вектор, модуль якого дорівнює одиниці називається одиничним вектором, або ортом, і позначається :
.
2. Лінійні операції над векторами. До них відносяться додавання векторів та множення вектора на число (скаляр).
Додавання векторів. Нехай задані два вектори . Відкладемо з деякої точки О вектор, а тоді з точки А відкладемо векторі розглянемо вектор.
Рис. 3
Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого знаходиться в початку вектора , а кінець - в кінці вектораза умови, що початок початокзнаходиться в кінці.
Згідно рис. 3 вектор замикає ламануOAB, напрямок вектора береться в кінець останнього доданка .
За принципом замикання знаходиться сума більшого числа доданків.
Рис. 4
.
Різниця векторів. Помістимо початки векторів і в одну точку О, і побудуємо замикаючий вектор(рис. 5).
Рис.5
Різницею двох векторів і , що виходять з однієї точки, називається замикаючий вектор (позначається ), напрямок якого вибирається в сторону заменшуваного.
Множення вектора на число. Добутком ненульового вектора на числоназивається вектор, (позначається=), колінеарний вектору,модуль якого.
Напрямок вектора збігається з напрямком вектора, якщо>0, і протилежний напрямку вектора , якщо<0, тобто
При = 0, або=ввжається, що- нульовий вектор.
Рис. 6
3. Властивості лінійних операцій над векторами.
Рис. 7
Властивість 1, що називається переставною або комутативною, зрозуміла з рис. 7, дозволяє додавати вектори за правилом паралелограма.
- асоціативна або сполучна властивість (див. рис. 8).
Рис. 8
Властивості 3 - 8 пропонуємо перевірити самостійно.
Приклад 1. За даними векторами іпобудувати вектори:
а).
Розв’язання. Див. на рис. а) і б)
Приклад 2. У трикутнику АВС проведена медіана АМ див. на рис. Виразити вектор через вектори і .
Розв’язання. За означенням різниці векторів , тоді
За означенням суми векторів із ∆ АВМ маємо