Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайти напрямні косинуси вектора =(1,2,2) і його одиничний вектор.

2. Трикутник АВС заданий координатами вершин А(-2,2,6), В(0,4,12), С(4,8,2). Знайти: 1) скалярний добуток векторів ; 2) довжини сторін АВ і АС; 3) проекцію векторана напрямок вектора ; 4) косинус кута між стороною АВ і медіаною АМ.

3. Знайти кут між векторами іякщо.

4.Визначити внутрішні кути трикутника з вершинами А(0,0,5), В(1,1,1) і С(-1,2,3), а також довжини сторін.

5. Обчислити проекцію вектора на напрямок вектора.

6. Дано три вектори ,і. Обчислити.

7. Задано вершини трикутника А(2,1,0), В(7,3,0), С((5,7,0). Знайти довжину и висоти цього трикутника, опушеної з точки А.

Відповіді. 1.

. 2. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 3. . 4. ; ,

. 5. 6. 6.14.7. .

2.9. Векторний добуток двох векторів

Означення. Векторним добутком векторів називається вектор, який задовольняє умови:

1) - перпендикулярний площині векторів;

2) - модуль векторачисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах ;

3) векторнапрямлений у той бік, з якого поворот від дона найменший кут здійснюється проти руху стрілки годинника.

Рис. 20

Властивості векторного добутку.

Таблиця векторного множення ортів.

Векторний добуток одноіменних ортів дорівнює . При найкоротшому повороті від одного орта до іншого проти годинникової стрілки отримуємо третій орт, за годинниковою стрілкою - третій орт із знаком « - ».

Формули векторного добутку в координатній формі отримуємо із врахуванням таблиці векторного добутку ортів

Приклад 1. Знайти векторний добуток векторів =(1,3,-1) і =(0,2,1). Побудувати в системі координат вектори ,і.

Розв’язання. Зауважимо, що визначник (1) зручніше обчислювати, застосувавши теорему про розклад (див. І, 1.4) за елементами першого рядка:

Тепер побудуємо вектори за їх координатами.

З рисунка видно, що положення знайденого вектора відповідає означенню векторного добутку.

Приклад 2. Знайти площу трикутника АВС, якщо

А(1,-2,-1), В(2,3,1), С(0,1,4).

Розв’язання. Знаходимо вектори

і їх векторний добуток:

Довжина отриманого вектора за означенням чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах. Тому

.

а площа АВС складає половину знайденої площі, тобто

Деякі застосування векторного добутку

Момент сили відносно точки. Нехай площина Р проходить через точку О, перпендикулярно напрямку гвинта ОВ (припускається, що гвинт - правий, рис 22). В точці А руков’ятки ОА, жорстко зв’язаної з гвинтом ОВ, під кутому прикладена сила . Векториіналежать площині Р. Необхідно знайти моментсиливідносно точки О.

Рис.22 Рис.23

Величина моменту сили відносно точки О дорівнює добутку довжинина величину складової, тобто. Алетому.

Напрямок моменту збігається з переміщеням гвинта (гвинт - правий!) при його загвинчуванні. Отже,

Приклад. Сила =(2,3,4) прикладена в точці А(1,4,2) Знайти момент сили відносно точки О(-1,0,1).

Відповідь. =(13,-6,-2).