2.6. Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні

1. Нехай ненульові вектори колінеарні,, тобто існує таке число, що. В координатній формі:

(1)

Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат.

Приклад. Чи колінеарні вектори

?

Розв’язання. За умовою =(1,2,-3),

=(-3,-6,9), а за

формулою (1) маємо , або ще можна записати.

2. Поділ відрізка в даному відношенні. Знайти координати точки М(х,у,z), яка ділить відрізок в заданому відношенні(рис. 14), якщо відомі координати точкиі, тобто:

М

Рис.14

Розглянемо вектори і. Оскількиі, то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо

Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка:

Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4) якого зосереджені одиничні точкові маси.

Розв’язання. Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4).

Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани:

, M(1,3,1).

Відомо, що центр трикутника має знаходитись на перетині медіан, а медіани, перетинаючись, діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини, тобто

,

, .

Отже, Р(3,1,2)- центр мас трикутника АВС.

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм.

2. Показати, що точки А(3,4,1), В(1,0,-1) і С(-2,-6,-4) лежать на одній прямій.

3. Дані точки А(-3,6,1) і В(7,-9,-4). Знайти координати точок С, D, Е, i F, які ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин.

4. Знайти координати кінців P і Q відрізка, який точками М(3,1,3) і N(6,-1,1) розділений на три рівні частини.

Відповіді: 3. С(-1,3,0), D(1,0,-1), E(3,-3,-2), F(5,-6,-3)

4. P(0,3,5), Q(9,-3,-1).

2.7. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій

1. Кут між векторами. Нехай задані ненульові вектори . Зведемо ці вектори до спільної точки О і в напрямках векторівпроведемо з точки О промені (див. рис. 15).

Менший з кутів, які утворені цими променями називається кутом між векторами і позначається.

Кут між вектором і нульовим вектором не означається.

Очевидно, що якщо , то; Якщо жто.

Вправи. 1). Знайти ,,.

2). Нехай . Знайти.

Рис. 15

3). Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник АВС, де . Знайти

Відповіді:

2. Проєкцію вектора на вісь(позначається) називається довжина відрізка, який сполучає проекції на цю вісь початку і кінця вектора, взята зі знаком « + », якщо кут між вектором і віссю гострий і знаком « - », якщо цей кут тупий (рис. 16).

Очевидно, що коли , то=0, і навпаки.

Основні властивості проекцій:

1. =(рис. 16);

2. =(рис. 17);

3. =+(рис. 18).

Властивість 3 виконується для суми скінченного числа векторів.

2.8. Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів (позначається) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:

. (1)

На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться:

(2)

У фізиці робота А сталої сили при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху знаходиться як скалярний добуток цих векторів:

Основні властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток комутативний

.

Випливає із (1).

Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку:

.

Для довільних векторів

.

Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю () тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні.

Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) , аналогічно, а за властивістю (4).

Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0.

Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо , то.

Дійсно, за допомогою властивостей маємо

Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі:

. (3)

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів і .

Розв’язання : За формулою (3) маємо:

.

Приклад 2. Задані точки А(3,2,3), В(1,-4,3), С(-4,5,1). Знайти скалярний добуток векторів .

Розв’язання . Спочатку знайдемо вектори

За формулою (3) маємо

.

Довжина вектора.Якщо в (1), то

Відстань між двома точками. ізнаходиться як довжина вектораза формулою (4):

Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4):

Приклад 3. Задані точки . Для паралелограма, побудованого на векторах і обчислити: 1)довжини сторін, тобто і ; 2) косинус та синус, кута ; 3) площу.

Розв’язання. Знаходимо вектори тоді: 1) ,. 2)(кут- тупий ),. 3)

.

Приклад 4. Знайти модуль вектора , якщо

.

Розв’язання. За формулою (4) .Знаходимо

,

тоді .

Умова перпендикулярності двох ненульових векторів випливає із властивості 4^ і формули (3)

Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4):

Теорема. Декартові прямокутні координати векторав базисі є його проекціями на відповідні осі координат.

Дійсно, згідно з (9) маємо

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених між векторомта координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19)

Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора та значення виразу.

Розв’язання.

.

Рис. 19

Легко перевірити, що для довільного вектора

Напрямні косинуси вектора повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора, щозбігається за напрямком з , тобто: