3.5. Монотонные последовательности

В теории сходимости последовательностей одно из центральных мест занимает вопрос о существовании предела у той или иной последовательности. Здесь мы рассмотрим важный и достаточно простой класс последовательностей, для которых эта проблема решается относительно просто.

Определение 3.3. Последовательность ,, называется монотонно возрастающей, если, то есть еслидля каждого. Последовательность,, называется строго возрастающей, если для каждогосправедливо неравенство.

Аналогично можно определить монотонно убывающую и строго убывающую последовательности.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Задача 3.10. Доказать, что сумма двух возрастающих последовательностей возрастает.

Задача 3.11. Доказать, что любая неотрицательная последовательность может быть представлена в виде суммы двух монотонных последовательностей.

Задача 3.12. Доказать, что любая монотонно возрастающая последовательность является ограниченной снизу.

Для выяснения вопроса о сходимости монотонных последовательностей сформулируем и докажем теорему фундаментальной важности.

Теорема 3.6 (Вейерштрасс). Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, тогда она имеет конечный предел.

Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится.

Доказательство. Будем доказывать теорему для случая возрастающей последовательности. Пусть ,, ограничена сверху. Тогда для множества её значений существует точная верхняя грань:. Докажем, что.

По определению точной верхней грани, во-первых, при всех , а во-вторых, для любого числанайдется такой номер, что выполнено неравенство . Так как последовательность монотонно возрастает, то для всех , а, значит, и , то есть . Отсюда следует, что .Теорема доказана.

Пример 3.15. Пусть =,. Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя бином Ньютона, получаем:

== ==

=.

Заметим, что при переходе от ккаждое слагаемое увеличивается, так как

< ,

где , и, кроме того, добавляется дополнительное положительное слагаемое. Значит,<, то есть последовательность возрастает. Далее, каждая из скобокменьше единицы и для всех натуральныхсправедливо

.

Поэтому при любом

< <,

то есть наша последовательность ограничена сверху.

Согласно теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел. Этот предел обозначается:

.

Из приведенных оценок вытекает, что . Можно доказать, чтоe – иррациональное число, начало его десятичного разложения имеет вид .

В качестве еще одного приложения теоремы докажем утверждение, принадлежащее Кантору.

Лемма о вложенных отрезках. Пусть дана последовательность числовых отрезков

, , …,, … ,,

для которых , при любом, то есть каждый последующий отрезоксодержится в предыдущем. Пусть- последовательность длин этих отрезков стремится к нулю.

Тогда концы иэтих отрезков стремятся к общему пределу:

= ,

который представляет собой единственную точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство. Рассмотрим последовательность , , левых концов этих отрезков. Это монотонно возрастающая последовательность, являющаяся к тому же ограниченной сверху:для всех значений. Обозначим предел последовательностичерез.

- монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность. Обозначим: . Так как, то. Для каждого, и, следовательно,. Используя условие, получаем. Ясно, что это - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.Лемма доказана.