Титульный лист первого учебника по математическому анализу

1.3. О целях настоящего учебного пособия

Глубина идей и разнообразие методов математического анализа требуют от обучающегося значительного умственного напряжения и трудолюбия. Этим объясняется большое количество учебников, авторы которых, в основном, известные математики, пытались облегчить восприятие этого, безусловно, трудного знания. В 70-х годах прошлого века начальные сведения из анализа были включены в программу средней школы, чтобы, в частности, подготовить учащихся к изучению математического анализа в ВУЗах. Тем не менее, как показывает и наш опыт, перед первокурсниками возникают серьезные трудности из-за того, что строгое формальное описание понятий и связей между ними препятствует воспринимать их содержательность. Особенно сложным для понимания оказывается материал первых лекций, когда непривычно строгим математическим языком излагаются такие емкие понятия как множество действительных чисел, последовательность, предел. Именно это обстоятельство явилось поводом для написания нашего учебного пособия. В нем мы постарались сосредоточиться на начальных и в то же время очень важных определениях и теоремах, усвоение которых позволило бы упростить изучение дальнейших разделов анализа. Мы рассчитываем, что это пособие избавит начинающих студентов от стремления дословно записать все, что говорится на лекции, и даст возможность воспринимать материал глубоко и содержательно.

2. Действительные числа. Числовые множества

2.1. Предварительные замечания

В силу того, что основным объектом внимания нашего курса являются функции, и, в первую очередь, функции, действующие в числовых множествах, есть смысл остановиться на безусловно важном математическом понятии – множестве всех действительных чисел. Конечно, было бы заманчивым сформулировать короткое определение типа «Действительным числом называется такой объект, который и т.д.». К сожалению, такую возможность следует сразу признать нереальной, т.к. фактически сложившееся у каждого человека представление о числах есть результат не простого интеллектуального развития, способности к абстрагированию. Это относится в первую очередь к рациональным числам, что же касается множества всех действительных чисел, то представление о нем как о математическом понятии формировалось в течение многих веков. Было бы наивно рассчитывать на получение удовлетворительного во всех отношениях определения множества действительных чисел. Тем не менее, сами попытки сформулировать такое определение позволяют выделить важные свойства множества действительных чисел и, самое главное, приблизиться к тому, чтобы представления о нем у разных групп людей совпадали.

Попытки формального описания множества действительных чисел предпринимались неоднократно и издавна. Различие в подходах определяется выбором тех свойств действительных чисел, которые принимаются аксиоматически, т.е. считаются не требующими доказательств. В одних случаях таковыми объявляются общеизвестные свойства подмножеств действительных чисел, например, множества рациональных чисел, в других акцент делается на операциях с числами. Общим для всех подходов является формулировка принимаемого без доказательства условия, которое позволяет рассматривать все действительные числа, включая иррациональные.

Для наших целей наиболее подходящим представляется вариант формального описания действительных чисел, который содержится в книге известного математика Г.Е. Шилова «Математический анализ. Функции одного переменного». Следуя этой книге, приведем так называемое аксиоматическое определение множества действительных чисел.