4.11. Обратная функция

Предположим, что некоторая функция определена на множестве, множество=- область значений этой функции и для любых, если, тотакже. В этом случае рассмотрим новую функцию, действующую по следующему правилу: для каждогозначениеполагается равным такому, для которого. Заметим, что из сформулированных предположений следует корректность задания функции, состоящая в том, что для каждогоопределено единственное. Определенная таким образом функцияназывается обратной к функциии обозначается.

Задача 4.9. Пусть функцииопределены условиями:

а) ;

б) ;

в) .

Выясните, в каких случаях из а) - в) определена обратная функция и найдите ее.

Отметим, что если множество точек плоскости служит графиком функции, то это же множество представляет собой график обратной функции, только теперь множество значений аргумента (независимой переменной) – это, а- множество значений функции.

Но так как обычно предпочитают через обозначать независимую переменную, то при замене обозначений появляется формула, а точка с координатамипереходит в точку, где. Поэтому графики функцийисимметричны относительно прямой.

Для строго монотонной функции условие существования обратной функции выполняется автоматически: если , то. Поэтому чаще всего обратные функции рассматриваются для строго монотонных. Тогда же, когда исходная функцияf не является строго монотонной наX, можно рассмотреть некоторый промежуток, на котором условие строгой монотонности выполняется и перейти к функции , где, при.

В таких случаях говорят, что - сужение функции. Так, известные по школьному курсу функцииarcsinиarctg являются обратными не кsinиtg, а к их сужениям, где( соответственно,).

Теорема 4.19.Пусть функцияопределена, строго возрастает и непрерывна на множестве. Тогда обратная функциястрого возрастает и непрерывна на множестве.

Доказательство.Заметим прежде всего, чтоявляется промежутком в силу теоремы 4.18.

Докажем, что является строго возрастающей функцией. Действительно, пустьи, и пусть. Тогда из определения обратной функции следует, чтои, причем неравенствоневозможно по предположению о строгом возрастаниии так как. Следовательно,. Непрерывность функциина промежуткевытекает теперь из теоремы 4.18. Достаточно заметить, чтоявляется промежутком, амонотонна по доказанному выше.Теорема доказана.

Замечание.Теорема 4.19. останется справедливой, если в ее формулировке слово “возрастает” заменить словом “убывает”.

4.12. Элементарные функции. Теорема о непрерывности

Словами «элементарные функции» принято называть алгебраические многочлены, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также всевозможные функции, которые получаются из перечисленных с помощью арифметических операций и образования сложной функции. Эти функции хорошо изучены, они издавна и широко используются в самой математике и в различных приложениях. Первое знакомство с такими функциями происходит на уроках элементарной математики – отсюда, надо думать, и название.

Приведенное описание множества элементарных функций дает основание выделить в нем основные элементарные функции (их иногда называют простейшими элементарными, но термин «простейшие» может неправильно ориентировать). К основным элементарным функциям относятся:

а) постоянная функция

f(x) c=const с областью определения X=R;

б) линейная функция

f(x)=x, X=R;

в) показательная функция с натуральным основанием, или экспонента

f(x)=, X=R;

г) натуральный логарифм (то есть функция, обратная к экспоненте)

f(x)=ln x, X={xR: x>0};

д) тригонометрические функции

f(x)=sin x, X=R;

f(x)=cos x, X=R;

f(x)= tg x, X={xR: x,где k=0, };

f(x)=ctg x, X={xR: x,где k=0, };

е) обратные тригонометрические функции

f(x)= arcsin x, X=[-1. 1];

f(x)= arсcos x, X=[-1. 1];

f(x)= arctg x, X=R;

f(x)= arcctg x, X=R.

Теорема 4.20. Каждая из основных элементарных функций является непрерывной на соответствующем множестве X.

Доказательство. а) Непрерывность постоянной функции очевидным образом следует из того, что ее приращение равно нулю для любой точкии для любого приращения

б) Для функции f(x)=x выполняется:

.

Поэтому, используя определение непрерывности на языке “- “, достаточно положить =()=.

в) Непрерывность экспоненты устанавливается несколько сложнее.

Предварительно заметим, что ниже в рассуждениях используются хорошо знакомые по школьному курсу математики алгебраические свойства общей показательной функции: если , то

, , ,

и если , то при u>0.

Пусть - произвольно выбранное число. Тогда

.

Таким образом, для доказательства равенства достаточно убедиться в том, чтопри. Иначе говоря, доказав непрерывность экспоненты в нуле, мы получим ее непрерывность в произвольной точкеR.

Далее, учитывая, что , остается доказать равенство

.

В разделе 3.7 было доказано, что lim для любого . Поэтому для произвольно выбранного >0 существуетmN, при котором

.

Положим  =>0. Тогда для любогоx из неравенств0<x< следует:

,

и

.

Непрерывность экспоненты доказана.

г) Функция f(x)= ln x является обратной к непрерывной (по доказанному) и строго возрастающей (очевидным образом) экспоненте. Поэтому на основании теоремы 4.19 она непрерывна.

д) Если f(x)=sin x, то

.

А так как sin u u и cos u  1, то

. Поэтому в условии непрерывности на языке «-» можно положить =. Аналогично доказывается непрерывность f(x)= cos x.

Функции tg x и ctg x непрерывны, так как представляют собой отношения непрерывных функций:

.

е) Непрерывность обратных тригонометрических функций непосредственно следует из теоремы 4.19 так как сужения на промежуток соответствующих прямых функций

g(y)= sin y, ;

g(y)= cos y, ;

g(y)= tg y, ;

g(y)= ctg y, ;

являются строго монотонными (проверьте!) и, по доказанному в д), непрерывными.

Теорема доказана.

Учитывая сказанное в начале этого раздела, можно конкретизировать понятие элементарной функции.

Определение 4.14. Класс элементарных функций – это такое множество, которое содержит все основные элементарные функции, а так же получающиеся из них с помощью арифметических операций и операций образования сложной функции.

Замечание. Иногда к элементарным относят также и функции, обратные к монотонным сужениям функций из описанного определением 4.14 класса.

Теорема 4.21. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство. Справедливость теоремы следует из того, что, во-первых, основные элементарные функции по предыдущей теореме непрерывны, и, во-вторых, в силу теорем 4.10 и 4.11 о непрерывности суммы, разности, произведения, отношения, композиции непрерывных функций. Добавим, что утверждение теоремы остается справедливым и для расширенного класса элементарных функций на основе последнего замечания. Теорема доказана.

Установленная непрерывность элементарных функций является важным и полезным свойством. Доказательство многих математических фактов основывается на использовании непрерывности элементарных функций. Для иллюстрации рассмотрим два примера, связанные со вторым замечательным пределом.

Пример 4.8. Докажем, что

.

Для этого воспользуемся вторым замечательным пределом

.

Отсюда следует, что

,

и, в силу непрерывности логарифмической функции, получим требуемое равенство.

Пример 4.9. Докажем, что

.

Обозначим через .Из непрерывности экспоненты следует, чтоy(x)  0 при x  0. Поэтому

при x  0.

В заключение отметим, что элементарными функциями не исчерпывается множество всех «полезных» функций. В различных вопросах математического анализа и математики вообще приходится рассматривать важные функции, которые не являются элементарными. Такие функции обычно называют специальными.

Задача 4.10. Докажите, что функция Дирихле (пример 4.3) не является элементарной.

Оглавление

1. Введение 3

1.1. О предмете 3

1.2. Немного истории 5

Титульный лист 5

первого учебника 5

по математическому анализу 5

1.3. О целях настоящего учебного пособия 6

2. Действительные числа. Числовые множества 7

2.1. Предварительные замечания 7

2.2. Аксиоматическое определение множества действительных чисел 8

2.3. Обсуждение аксиом 1-14 и некоторые следствия из них 10

2.4. Теорема о точной нижней грани 12

2.5. Натуральные числа 14

2.6. Несколько замечаний о числовых множествах 17

3. Числовые последовательности 18

3.1. Определение последовательности. Числовые последовательности. Примеры 18

3.2. Предел последовательности 20

3.3. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о единственности предела 23

3.4. Неравенства и предельный переход. Лемма о двух милиционерах 25

3.5. Монотонные последовательности 27

3.6. Бесконечно малые последовательности 30

3.7. Сходимость и арифметические операции 32

3.8. Критерий Коши 35

3.9. Подпоследовательности. Частичные пределы 37

3.10. Бесконечно большие последовательности 40

3.11. Еще раз о числовых множествах 42

4. Функции одной переменной 45

4.1. Начальные определения. Терминология 45

4.2. Предел функции 47

4.3. Свойства функций, имеющих предел 50

4.4. Критерий Коши существования предела функции 51

4.5. Расширение понятия предела. Односторонние пределы 52

4.6. Замечательные пределы 54

4.7. Непрерывность функции 57

4.8. Свойства непрерывных функций 60

4.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке 61

4.10. Непрерывность и точки разрыва монотонной функции 65

4.11. Обратная функция 68

4.12. Элементарные функции. Теорема о непрерывности 70

74