2.6. Несколько замечаний о числовых множествах

В завершение этой главы приведем ряд определений и утверждений, касающихся числовых множеств.

Определение 2.3. Отрезком называется множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам. Здесь,.

Определение 2.4. Интервалом называется множество всех действительных чисел, удовлетворяющих строгим неравенствам.

В последнем определении можно в качестве использовать символ, а в качестве- символ. Именно,

=,

=,

=.

Определение 2.5. Множества вида

=

и

=

называются полуинтервалами.

Часто в качестве обобщающего термина для отрезка, интервала и полуинтервала используется слово «промежуток».

Определение 2.6. Пусть – положительное число и.– окрестностью точкиназывается интервал вида

=.

Определение 2.7. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено снизу, то есть существуют такие числаи, что для любоговыполняются неравенства.

Утверждение. Множество ограничено в том и только в том случае, когда существует такое, что для любоговыполнено неравенство.

Действительно, если ограничено, то можно положить.

Если же выполняется условие из утверждения, то полагаем =,=.

Задача 2.13. Доказать, что объединение и пересечение двух ограниченных множеств также ограниченное множество.

Задача 2.14. Сформулировать в положительном виде условие неограниченности множества.

3. Числовые последовательности

3.1. Определение последовательности. Числовые последовательности. Примеры

Важный класс функций образуют последовательности. Таким термином принято называть функции, областью определения которых служит множество всех натуральных чисел. В зависимости от того, какие значения принимает последовательность, можно говорить о числовой последовательности, о последовательности функций и т.д. Таким образом, числовая последовательность – это функция, действующая изв. Ниже речь пойдет именно о таких последовательностях. Слово «числовая» будем опускать.

Для последовательностей используются специфические обозначения:

{},;

, .

Ниже будем использовать, в основном, последнее обозначение. Приведем несколько примеров числовых последовательностей.

Пример 3. 1. ,.

Пример 3. 2. ,.

Пример 3.3. ,.

Пример 3.4. ,.

Пример 3. 5. ,,.

Пример 3. 6. .

Для наглядного представления последовательности можно использовать такой вариант. Нарисуем числовую прямую и для каждого представим себе отмеченное на ней число- значение- ого члена последовательности.

Так некоторое представление о последовательности из примера 3.3 может дать рисунок 1.

0 1

Рис. 1

Обратим внимание на различие понятий: множество членов последовательности и множество значений членов последовательности. Если первое всегда бесконечно, как и само множество всех натуральных чисел, то второе может оказаться конечным: примеры 3.1 и 3.2. Заметим также, что иногда, определяя последовательность, удобно рассматривать вместо множестванатуральных чисел множество всех целых неотрицательных чисел (пример 3.5) или множество натуральных чисел, не меньших некоторого(пример 3.6, где).

Определение 3.1. Последовательность ,, называется ограниченной последовательностью, если ограничено множество ее значений. Иначе говоря, последовательность ограничена, если существует такое число, что для всехвыполнено неравенство.

Из этого определения следует, что условие неограниченности последовательности имеет вид: для каждого числа найдется номер, для которого.

Ясно, что последовательности в примерах 3.1 – 3.3 ограничены. Далее будет показано, что последовательность из примера 3.4 также ограничена.

Задача 3.1. Докажите, что последовательность в примере 3.5 ограничена при любом , а последовательность в примере 3.6 не ограничена.