3.3. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о единственности предела

Теорема 3.1. Если последовательность ,сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть число является пределом последовательности {}. Дляможно указать номер, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству. Так как множество членов последовательности, не удовлетворяющих данному неравенству, конечно, то выберем

.

Легко убедиться в том, что все члены последовательности удовлетворяют неравенству .Теорема доказана.

Из теоремы 3.1 непосредственно вытекает, что если последовательность ,, не является ограниченной, то она и не является сходящейся. Следует, однако, заметить, что теорема не может быть обращена, то есть не любая ограниченная последовательность имеет предел. Рассмотрим примеры.

Пример 3.9. ,. Последовательность сходится к нулю и принимает значения из отрезка.

Пример 3.10. ,. Последовательность сходится к нулю и принимает значения из полуинтервала.

Пример 3.11. ,. Последовательность не является ограниченной, так как для произвольного положительного числаи для любого натурального, большего, выполняется. Следовательно,,, не является сходящейся.

Пример 3.12. ,. Для произвольного положительного числаи для любого натурального четного числа, удовлетворяющего неравенствусправедливо, то естьне ограничена.

Пример 3.13. ,. Последовательность ограничена, но не имеет предела. Действительно, предположим, что предел существует и равен. Тогда для каждого положительного числаможно указать такой номер, начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству:. В частности, для=найдется номертакой, что для любогосправедливо неравенство. Посколькуи, то для членов последовательностиивыполняются неравенства,. Так как=1,=, то из неравенствиследует, что

.

Получили противоречие, которое означает, что последовательность не имеет предела.

В заключение раздела докажем теорему о единственности предела последовательности.

Теорема 3.2. Последовательность ,, не может одновременно стремиться к двум различным пределам, то есть если предел последовательности существует, то он единственный.

Доказательство. Предположим, что и. Докажем равенство . Выберем . По определению предела:

(), ():, (3)

(), ():. (4)

Для члена последовательности с номеромодновременно выполнены неравенства из условий (3) и (4). Поэтому

.

Таким образом, для произвольно выбранного положительного числа. Это означает, что . Теорема доказана.

3.4. Неравенства и предельный переход. Лемма о двух милиционерах

Приведем ряд утверждений, обеспечивающих предельный переход в неравенствах. Начнем с простого замечания

Пусть последовательность ,, сходится к числу. Очевидно, что для любого числа(или для любого числа) можно указать положительное числотак, чтобы+(-). В первом случае следует взять, во втором -. По определению предела найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству:().

Задача 3.8. Докажите, что если последовательность ,, сходится к числу, отличному от нуля, то найдется такой номер, начиная с которого, выполняется неравенство:.

Теорема 3.3. Пусть для всех членов сходящейся к числу последовательности,, начиная с некоторого номеравыполняется неравенство, тогда.

Доказательство. Для доказательства предположим противное: . Из замечания, приведенного в начале этого раздела, следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство, которое противоречит условию теоремы.Теорема доказана.

Задача 3.9. Известно, что каждый член некоторой сходящейся последовательности положителен. Может ли предел такой последовательности быть равен нулю?

Теорема 3.4. Если для двух последовательностей и,, при любомвыполняется неравенство, и каждая из них имеет предел:=,=, то.

Доказательство. Предположим противное. Пусть . Возьмем числомеждуи:. Тогда найдется такой номер , начиная с которого будет , и, с другой стороны, найдется , что для окажется . Если взять , то для этих номеров будут выполняться оба неравенства и, а, следовательно,, что противоречит условию теоремы.Теорема доказана.

Следует заметить, что если для последовательностей выполняется строгое неравенство <, то для пределов, вообще говоря, по-прежнему. Например, для последовательностей=и=выполняется неравенство, но.

Следующая теорема используется достаточно часто при установлении существования и величины предела.

Теорема 3.5 (лемма о двух милиционерах). Пусть для последовательностей ,и, выполняются неравенства, причем==. Тогда последовательностьимеет тот же предел.

Доказательство. Пусть выбрано произвольное . Тогда (), (): . С другой стороны, (), (): .

Выберем , тогда для всех будут выполнены оба двойных неравенства, следовательно, , то есть , или .

Пример 3.14. Покажем, что .

Из следующей цепочки

вытекает, что

. Ясно, что (Докажите!). Теперь существование и равенство предела последовательностиединице следует из неравенств

и из леммы о двух милиционерах.