3.2. Предел последовательности

Центральное место в математическом анализе занимает понятие предела. Последовательности позволяют познакомиться с пределом достаточно просто с сохранением всей содержательности этого понятия.

Определение 3.2. Последовательность ,называется сходящейся к числу(пишутили), если для каждого положительного числаможно указать номер, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству:. Числов этом случае называется пределом последовательности.

В формальной записи это определение выглядит следующим образом:

(), (), ():. (1)

Для лучшего восприятия этого определения проведем его небольшое обсуждение. Имея в виду графическое представление последовательности ,, определение предела можно переформулировать следующим образом: точка является пределом последовательности ,, если какую бы окрестность с центром в точке мы не выбрали, для нее найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в выбранной окрестности.

Это условие можно сформулировать иначе, сохраняя эквивалентность:

, если вне любой окрестности точки оказывается лишь конечное множество членов последовательности.

Задача 3.2. Верно ли, что если в любой окрестности точки содержится бесконечное множество членов этой последовательности, то число является пределом последовательности?

Задача 3.3. Верно ли, что если в любой окрестности точки содержится бесконечное множество членов этой последовательности, то число не является пределом последовательности?

Отметим, что при некоторых внешних изменениях содержание формального определения предела последовательности сохранится. В качестве примера докажем, что условие (1) эквивалентно следующему:

(), (), ():. (2)

Действительно, если выполнено условие (1), то справедливость условия (2) следует из того, что .

Для доказательства обратного утверждения воспользуемся следующим рассуждением.

Выберем произвольно положительное число . Обозначим через. Если предположить, что условие (2) выполнено, то для числанайдется номер, такой что для всехвыполняется неравенство. Таким образом, если для выбранногов качествевзять, то для всехнеравенствовыполняется.

Выясните, какие из приведенных ниже условий эквивалентны тому, что .

Задача 3.4 . (), (), ():.

Задача 3. 5. (), (), ():.

Задача 3.6. (), (), ():.

В завершение обсуждения определения 3.2 выясним, как построить его отрицание, то есть сформулируем в положительном виде условие: не сходится к числу.

В определении 3.2 говорится, что любое положительное число обладает свойством: (), ():. В нашем случае это не так, то есть существует положительное число, для которого это свойство не выполняется. Это в свою очередь означает, что какой бы номермы не взяли, для него найдется, при котором.

В итоге получаем:

не сходится к числу ,,,.

Определение 3.3. Последовательность ,, называется сходящейся, если существует такое действительное число, что для каждого положительного числаможно указать такой номер, начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству:, или в формальной записи

(): (), (), ():.

Рассмотрим примеры.

Пример 3.7. Последовательность ,, сходится к нулю. Действительно, какое бы ни было положительное число, по свойству Архимеда множества действительных чисел существует такое натуральное число, что. Поэтому для всехвыполняется неравенство, а это означает, что.

Пример 3.8. Пусть последовательность ,, сходится к числу. Тогда последовательность средних арифметических ее членов,, тоже сходится к числу.

Согласно определению предела для каждого положительного числа можно указать такой номер, начиная с которого, все члены последовательности удовлетворяют неравенству:.

Заметим, что для всех справедливо равенство:

=

=.

Предел равен нулю, поскольку числитель дроби есть фиксированное число, а. Следовательно, существует такой номер, начиная с которого выполняется неравенство:. Пусть. Тогда для всехполучим

<.

Это означает, что .

Задача 3.7. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, в случае сходящейся последовательности не влияет и на величину предела.