2.5. Натуральные числа

Натуральные числа 1, 2, 3,… образуют наиболее простую и доступную для повседневного использования часть множества всех действительных чисел. Первые математические представления человек приобретает, когда знакомится в начальной школе с арифметическими действиями с натуральными числами. Тем не менее, приведенная выше аксиоматика дает повод для рассмотрения множества натуральных чисел как особого подмножества всех действительных чисел, определенного аксиомами 1-14.

Определение 2.2. Множество натуральных чисел – это такое множество, для которого выполняются следующие условия:

а) ,

б) для любого числа числотакже принадлежит множеству,

в) если множество удовлетворяет условиям а) и б), то.

Данное формальное определение множества всех натуральных чисел, служит, в частности, теоретической основой широко используемого метода доказательства, известного под названием «метод математической индукции». Смысл этого метода состоит в следующем.

Предположим, что мы собираемся доказать некоторое утверждение вида:

«Каждое натуральное число обладает свойством .»

Если нам удастся доказать, что, во-первых, 1 обладает этим свойством (начало, или основание индукции), и, во-вторых, из предположения «обладает свойством» вытекает «обладает свойством» (шаг индукции), то наше утверждение в целом становится доказанным. Ведь тем самым мы установили, что множествотех действительных чисел, которые обладают свойством, удовлетворяют условиям а) и б) из определения, и, следовательно, в силу в).

В качестве примера применения метода математической индукции докажем очень важное равенство, которое называется «бином Ньютона». Мы покажем, что для любых действительных ии для любого натуральноговыполняется:

, (1)

где ,.

При равенство (1) очевидно, так как

и .

Прежде чем выполнять шаг индукции, докажем вспомогательное равенство:

= ===

= .

Таким образом, .

Предположим теперь, что для некоторого равенство (1) выполняется. Докажем, что аналогичное равенство выполняется и для. Преобразуем:

=

==

==

==

=.

Получившееся равенство между крайними частями этой цепочки, является, как нетрудно увидеть, искомой формулой (1), в которой заменено на ().

Следующее утверждение обычно называют принципом Архимеда или архимедовым свойством действительных чисел.

Теорема 2.2. Множество N всех натуральных чисел не ограничено сверху. Иначе говоря, для любого действительного числа b существует такое натуральное число n, что >.

Доказательство. Предположим противное: существует число такое, что для любого натурального числаверно неравенство. Тогда по аксиоме о точной верхней грани (аксиома 14) для множестваN существует наименьшая верхняя грань. Обозначим ее через . Так как-1<, то-1 верхней гранью не является. Поэтому найдется такое натуральное число , что. Но тогда, а это противоречит тому, что- верхняя грань множестваN. Теорема доказана.

Следствие. Для любых действительных чисел и, где 0<<, существует такое натуральное число, что>.

Для доказательства следует принцип Архимеда применить к числу .

Следствие имеет простой геометрический смысл. Если взять два отрезка с длинами исоответственно, где 0<<то, последовательно откладывая на большем отрезке от одного из концов меньший отрезок, через конечное число шагов мы выйдем за пределы большего отрезка.