2.3. Обсуждение аксиом 1-14 и некоторые следствия из них

Приведенное определение множества всех действительных чисел может вызвать большое количество вопросов. Сформулируем два из них, они непременно должны возникнуть у любознательного читателя.

Нет ли среди перечисленных свойств – аксиом лишних, то есть логически вытекающих из остальных?

Верно ли, что из перечисленных свойств – аксиом вытекают другие известные свойства чисел?

По поводу первого из этих вопросов можно отметить, что набор аксиом не избыточен, хотя доказать это довольно сложно; впрочем, если даже допустить, что среди аксиом оказалась лишняя, с этим вполне можно смириться.

Относительно полный ответ на второй вопрос можно найти в первой главе упомянутой книги Г. Е. Шилова. В ней приводятся строгие доказательства большого количества утверждений, знакомых из школьной математики. В частности, обосновывается возможность представления действительных чисел в виде конечных и бесконечных десятичных дробей. Мы же ограничимся рассмотрением нескольких простых утверждений, а также приведем наиболее важные следствия из аксиомы о точной верхней грани.

Утверждение. Число, обладающее свойствами 0, единственно.

Предположим, что существуют числа и:+=,+=. По свойству коммутативности сложения левые части равны, значит, равны и правые.

Утверждение. Для любого x из R выполняется равенство 0x = 0.

Доказательство. 0x = 0x + x + (-x) = 0x + 1x + (-x) = (0+1)x + (-x) = 0.

Утверждение. Для любого x из R выполняется равенство –x = (-1)x.

Доказательство. –x = -x + 0 = -x + 0x = -x + (1 + (-1))x = -x + 1x +(-1)x =

= (-1)x.

Утверждение. 1>0.

Доказательство. Предположим противное: 1 < 0. Но тогда 0  -1, а из аксиомы 13 и из предыдущего утверждения следует, что 0  (-1)(-1) = 1. Противоречие.

Сформулируем в виде задач еще несколько простых утверждений, их полезно доказать самостоятельно.

Задача 2.1. Для любого x противоположное число –x обладает свойством единственности. Докажите.

Задача 2.2. Для каждого числа справедливо равенство =. Докажите.

Задача 2.3. Для любых чисел исправедливо равенство+() =, т.е. число противоположное сумме двух чисел, равно сумме противоположных им чисел. Докажите.

Задача 2.4. Уравнение +=имеет вединственное решение:=. Докажите.

Задача 2.5. Число, обладающее свойствами 1, единственно. Докажите.

Задача 2.6. Для любых чисел и,,справедливо равенство=т.е. число обратное произведению двух чисел, равно произведению обратных к ним чисел. Докажите.

Задача 2.7. Если =0, то, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю. Докажите.

Задача 2.8. Если >, то. Докажите.

Задача 2.9. Если  и, то+ +, т.е. неравенства одного смысла можно почленно складывать. Докажите.

Напомним известное по школьному курсу

Определение 2.1. Для любого числа назовем абсолютной величиной (модулем) число, определяемой по формуле

= .

Докажите, что абсолютная величина обладает следующими свойствами:

, =,,

, ,,

.

2.4. Теорема о точной нижней грани

В этом и в следующих разделах рассмотрим утверждения, в доказательстве которых существенно используется аксиома 14. По аналогии с ограниченным сверху множеством назовем ограниченным снизу множество , если для него существует нижняя грань, то есть такое числоy, что при всех xX выполняется неравенство y x.

Теорема 2.1. Если X - непустое ограниченное снизу множество, то среди всех его нижних граней найдется наибольшая.

Доказательство. Пусть множество X не пусто и ограничено снизу. Рассмотрим новое множество Z = {-x: x  X}. Оно, очевидно, не пусто и ограничено сверху. По аксиоме 14 для множества Z существует точная верхняя грань = sup Z, то есть наименьшая среди всех его верхних граней. Покажем, что число =является наибольшей нижней гранью множестваX.

Убедимся сначала, что - нижняя грань дляX. Для этого воспользуемся тем, что для любого элемента справедливо неравенство, которое иначе можно записать в виде.

Для доказательства того, что – наибольшая нижняя грань множестваX, проведем от противного. Предположим, что это неверно, то есть некоторое число является нижней гранью множестваX и удовлетворяет неравенству<. Но тогдаи числоокажется верхней гранью множестваZ. А это противоречит минимальности его верхней грани .Теорема доказана.

Наибольшая среди всех нижних граней множества X обозначается inf X (от латинского infimum).

Задача 2.10. Найдите supX и infX, где X – одно из следующих множеств:

а) X= {0,1};

б) X= (0,1);

в) X= [0,1].

Задача 2.11. Докажите, что условие означает (в формальной записи), что

( :) и (:).

Соответственно условие эквивалентно

(:) и (:).

Задача 2.12. Докажите, что

;

.

Замечание. Иногда для обозначения неограниченного сверху множества пишут =, а для неограниченного снизу -=. Подчеркнем, что речь идет только об удобных в некоторых случаях обозначениях.