4.10. Непрерывность и точки разрыва монотонной функции

В этом разделе будем рассматривать функции, заданные на промежутках. Напомним, что промежуток – это либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Задача 4.7. Докажите, что множество X является промежутком, тогда и только тогда, когда для любых двух точек u и v из X отрезок [u,v] содержится в X

Определение 4.13. Пусть функция f определена на промежутке X. Она называется

а) монотонно возрастающей, если для любых u, vX из неравенства u< v следует неравенство f(u) f( v);

б) строго возрастающей, если для любых u, vX из неравенства u< v следует неравенство f(u)< f( v);

в) монотонно убывающей, если для любых u, vX из неравенства u< v следует неравенство f(u) f( v);

г) строго убывающей, если для любых u, vX из неравенства u< v следует неравенство f(u)> f( v).

Функции такого вида называются монотонными.

Теорема 4.17. Пусть f определена и монотонна на промежутке X и - внутренняя точка промежутка. Тогда в точкесуществуют односторонние пределы

и .

Доказательство. Пусть f монотонно возрастает на X. Рассмотрим множество

Y_={f(x): xX, x < },

для которого f() служит, очевидно, верхней гранью.

Обозначим: y*=sup Y_ и докажем, что =y*.

Действительно, пусть  – произвольно выбранное положительное число, тогда y*-  не является верхней гранью множества Y_. Поэтому для некоторого , гдеX и <, выполняется неравенствоy*-  < f ().

Положим  =->0 и выберем произвольноx, удовлетворяющий неравенствам

=- < x<.

Из возрастания f и из определения y* вытекает, что

y*- < f() f(x) . y* < y*+,

то есть | f(x)- y*| < ε. Утверждение доказано.

Аналогично устанавливается существование предела справа в точке . Подобным же образом доказывается существование односторонних пределов и для монотонно убывающей функции.Теорема доказана.

Сделаем несколько важных замечаний.

Замечание. Из доказательства теоремы 4.17 следует, что для монотонно возрастающей функции f на промежутке X в каждой внутренней точке выполняются неравенства

,

а для монотонно убывающей, соответственно, неравенства

.

С учетом теоремы об односторонних пределах приходим к следующему критерию. Внутренняя точка промежуткаX является точкой разрыва монотонной функции f тогда и только тогда, когда интервал не пуст. Причем в случае, когда- точка разрыва, из всех чисел, составляющих множествоf(X) значений функции, только одно, а именно f(), может принадлежать этому непустому интервалу.

Замечание. Рассуждения, доказывающие теорему 4.17, без изменений могут быть использованы для доказательства существования соответствующего одностороннего предела в точке, которая является концом промежутка X и принадлежит ему. Так для X=[a, b] у монотонной на [a, b] функции f существуют

и .

А непрерывность функции f в точках а и b эквивалентна пустоте, соответственно, интервалов и.

Замечание.Приведенные выше рассуждения можно продолжить для описания предельного поведения множества функций в конце промежутка, не принадлежащего этому промежутку. Для определенности рассмотрим следующий вариант. Пусть функциямонотонно возрастает на промежутке, правый конец которого( здесь либо, либо). В том случае, еслиограничена сверху на, существует

;

если же сверху не ограничена, топри. Справедливость этого утверждения и ему аналогичных для монотонно убывающих функций и для левого конца промежутка устанавливается рассуждениями, близкими к доказательству теоремы 4.17.

Теперь с помощью теоремы 4.17, дополненной замечаниями, просто формулируется и доказывается критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 4.18. Для того, чтобы монотонная на промежутке функциябыла непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы ее множество значений являлось промежутком.

Доказательство. Необходимость. Предполагая непрерывность функции на, выберем произвольно две точкиииз. Пусть=,=, где. Так как - промежуток, то( см. задачу 4.7 ). А по обобщенной теореме Больцано-Коши для каждогонайдется такое число, для которой=. Таким образом, с учетом утверждения из той же задачи 4.7,- промежуток.

Достаточность. Предположим теперь, что =является промежутком и установим непрерывность нафункции. Рассуждая от противного, допустим, чтоне является непрерывной в некоторой точке. Если- внутренняя точка промежутка, то выберем две точкиииз, для которых. Тогда

=,=,,

но непустой интервал содержит бесконечно много точек, только одна из которых может принадлежать множеству. Таким образом,.

Для случая, когда точка разрыва является концом промежутка, с помощью аналогичных рассуждений доказывается существование двух чисел, для которых. Таким образом, полученное противоречие доказывает достаточность.Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в доказательстве необходимости не использована монотонность . Это означает, что множество значений любой непрерывной на промежутке функции является промежутком.

Задача 4.8. Приведите пример функции , заданной на промежуткеи имеющей на нем точки разрыва, для которой- промежуток.