4.8. Свойства непрерывных функций

Теорема 4.9 (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f определена на X, непрерывна в точке X и значение отлично от нуля. Тогда для всехx, достаточно близких к функция сохраняет тот же знак, что и число. Или, в формальной записи,

(f непрерывна в точке X и )

>0 xX ().

Справедливость утверждения непосредственно следует из определения непрерывности на языке «-».

Теорема 4.10 (о непрерывности и арифметических операциях). Пусть на множестве X определены функции f и g, непрерывные в точке . Тогда в этой точке непрерывны функции,и функцияпри условии.

Утверждение непосредственно следует из соответствующей теоремы об арифметических операциях над пределами.

Теорема 4.11 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция g определена на некотором множестве Y, функция f определена на множестве X, причем . Если функцияf непрерывна в точке изX, а функция g непрерывна в соответствующей точке изY, то и сложная функция (x)=g(f(x)) непрерывна в точке .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности функции по Гейне. Пусть - последовательность точек изX, сходящаяся к . Тогда в силу непрерывностиf соответствующая последовательность значений функции сходится к числу. Благодаря непрерывности функцииg, из сходимости следует сходимость. Таким образом, из предположения о том, что, получили:

.

Теорема доказана.

4.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 4.12 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке . Тогда множество ее значений ограничено на этом отрезке.

Доказательство проведем от противного. Пусть функция не является ограниченной. В таком случае для любого натурального числа n найдется значение , для которого. Последовательность,,ограничена, поэтому существует ее сходящаяся подпоследовательность ,. Пусть - предел подпоследовательности,, из теоремы о предельном переходе в неравенствах вытекают неравенства . Из непрерывности функции в точкеследует, что, поэтому последовательность,,ограничена. Но, с другой стороны, при любом выполняется, то есть последовательность,, неограничена. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание. Предположение о непрерывности в доказанной теореме существенно. В этом можно убедиться на следующем примере:

Ясно, что эта функция, определенная на отрезке [0, 1] и разрывная только в одной точке 0, не является ограниченной. Отметим также, что теорема престает быть верной, если в ее формулировке отрезок заменить интервалом.

Теорема 4.13 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке. Тогда она достигает на этом отрезке точных нижней и верхней граней множества своих значений.

Доказательство. Обозначим

M=sup {f(x): a  x  b},

m=inf {f(x): a  x  b}

(здесь мы используем доказанную в предыдущей теореме ограниченность множества значений функции f). Нужно доказать, что существуют такие x*[a,b] и [a,b], для которых f(x*)=M, f()=m.

По определению числа M для любого найдется[a, b], для которого . Выберем, гдеnN, тогда найдется , для которого

. (*)

Без ограничения общности можно считать последовательность сходящейся, иначе, как в доказательстве первой теоремы Вейерштрасса, рассмотрели бы сходящуюся подпоследовательность. Пустьx*=lim. Из непрерывности следует:. С другой стороны, из неравенств (*) вытекает, чтоM=lim. По теореме о единственности предела последовательностиM= f(x*).

Существование точки доказывается аналогично.Теорема доказана.

Замечание. В теореме 4.13 условие непрерывности функции также является существенным. В этом можно убедиться на примере функции

определенной и ограниченной на отрезке [-1, 1]. Числа

M=sup {f(x): x[-1, 1]}=1,

m=inf {f(x) ): x[-1, 1]}= -1

не являются ее значениями.

Теорема 4.14. (Больцано – Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке[a, b] где a<b, и в концах отрезка принимает значения разного знака: f(a)f(b) < 0. Тогда на интервале (a, b) найдется точка c, для которой, что f(c)=0. (Графический смысл этого утверждения: если одна из точек графика f, соответствующих a и b, лежит над осью Ox, а другая – под этой осью, то перемещаясь по графику от одного его конца к другому, мы пересечем ось Ox).

Приведем два доказательства этой важной теоремы.

Доказательство (I). Примем для определенности, что f(a)< 0, f(b)> 0. Рассмотрим точку - середину отрезка [a, b]. Если f(d)=0, то, полагая c=d, получим искомую точку, в которой функция равна нулю. Если же f(d) 0, то в концах ровно одного из отрезков [a, d] или [d, b] функция принимает значения разного знака. Обозначим этот отрезок [] и заметим, что f() < 0 и f() > 0. Таким образом, получили ситуацию, аналогичную исходной. Снова рассмотрим середину отрезка []и т.д.

На n–ом шаге мы получим отрезок [] где f() < 0 и f() > 0.

В зависимости от знака f()= выбираем на (n+1)–ом шаге ту из двух половин, на концах которой функция имеет значения разного знака. Можно считать, что при каждом nN f() 0, иначе искомая точка была бы обнаружена.

Из описания следует, что для любого nN

[]  [] и .

Поэтому последовательности и ,nN, монотонны, ограничены и сходятся к общему пределу, который обозначим черезc:

lim=lim=c(a, b).

Из непрерывности f в точке c вытекает, что

f(c)= lim f() 0, так как f()<0,

и

f(c)= lim f()0, так как f()>0.

Поэтому f(c)= 0, a<c<b, и теорема доказана.

Доказательство (II). Пусть f(a)>0 и f(b)<0. Рассмотрим множество точек . Оно не является пустым, так как ему принадлежит по крайней мере точкаa вместе со своей полуокрестностью. Множество X ограничено, поэтому существует sup X . Обозначим: c=sup X и покажем, что f(c)=0. Предположим противное: пусть f(c)>0 или f(c)<0 . Тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции неравенство f(x)>0 (соответственно f(x)<0) выполнено для всех x из некоторой окрестности точки c. Но это противоречит тому, что с - точная верхняя грань множества X. Теорема доказана.

Теорема 4.15 (обобщенная теорема Больцано – Коши). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого числа C из отрезка [f(a), f( b)] найдется такая точка c [a, b], для которой f(c)=C.

Для доказательства достаточно рассмотреть вспомогательную функцию F(x)=f(x)-C. Очевидно, что F непрерывна. Справедливость утверждения следует из предыдущей теоремы.

Задача 4.6. Пусть f: [0, 1] [0, 1] и является непрерывной. Докажите, что существует точка x*[0, 1], для которой f(x*)= x* (она называется неподвижной точкой функции f ).

В заключении раздела рассмотрим одно важное свойство непрерывной на отрезке функции. Предварительно введем

Определение 4.12. Пусть функция f определена на множестве X. f называется равномерно непрерывной на X, если для любого  > 0 существует такое  > 0, что для любых u, vX из неравенства u-v <  следует неравенство f(u)-f(v) <.

Равномерная непрерывность функции на множестве означает, что на всем множестве достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента, чтобы добиться требуемой степени близости значений функции.

Очевидно, что функция, равномерно непрерывная на множестве X, является на нем непрерывной функцией; обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 4.16 (Кантор). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Предположим противное: для некоторого числа  > 0 какое бы  >0 мы не выбрали, существуют два числа u, vX, для которых u-v< и, тем не менее, f(u)-f(v)  . Пусть последовательность чисел выбрана так, что. Для каждого такогорассмотрим пару чисел, для которыхи. Без ограничения общности можно считать последовательность,nN, сходящейся:

,

иначе по теореме Больцано-Вейерштрасса у нее существует некоторая сходящаяся подпоследовательность. Так как , а, то последовательность чиселсходится к точке. В силу непрерывностив точкепоследовательности значений функцииисходятся к. Поэтому, что противоречит предположению.Теорема доказана.