4.6. Замечательные пределы

Теорема 4.7. .

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R=1 с центром в точке О. Пусть радиус OB образует угол x () с радиусомOA. Сравним площади треугольника AOB, сектора AOB и треугольника AOC. Очевидно, что . С учетомR=1 получим . Отсюда. Следовательно,. Для обратных величин неравенство запишем так:. Отсюда. Преобразуем. С учетом неравенстваполучим:. Выше мы доказали, что, поэтому. Окончательно,. Легко видеть, что последнее неравенство справедливо и при условии. Для доказательства того, чтоосталось воспользоваться утверждением 4.3 (лемма о двух милиционерах для функций).

Теорема доказана.

Теорема 4.8. .

Доказательство теоремы проведем, используя определение предела на языке последовательностей. Ранее было доказано, что , то есть для последовательности=n последовательность =f(n) значений функции стремится кe.

Пусть ,,. Выберем произвольнои обозначим черезтакой номер, что при всехmвыполняется неравенствоf(m)-e<. Так как , то найдется номер, начиная с которого, тогда при всехсправедливо неравенство, то есть.

Рассмотрим теперь произвольную последовательность ,, для которой. Члены последовательности можно представить в виде, где- целая часть числа, а- его дробная часть. Так как, то без ограничения общности можно считать, чтопри всех. Из определения целой части числа следует:

и

.

Поэтому

.

Преобразовав два крайних выражения, получим неравенство

.

Из условия следует, чтои

, ,,.

Таким образом, оба крайних выражения стремятся к одному и тому же пределу, и по лемме о двух милиционерах

.

Рассмотрим предел прии покажем, что. Выберем последовательностьи рассмотрим последовательность.

Тогда

==

=

=.

Очевидно, что , а. Поэтому. Отсюда следует.Теорема доказана.

4.7. Непрерывность функции

Когда мы обсуждали понятие предела функции в точке, то подчеркивали тот факт, что эта точка может не принадлежать области определения функции. Но даже если эта точка входит в область определения, то значение функции в точке никак не влияет на величину предела. Поэтому отдельного внимания заслуживают такие функции, для которых предел в точке совпадает со значением в ней функции.

Определение 4.5. Пусть функция f определена на X и - предельная точка множестваX, принадлежащая X Функция f называется непрерывной в точке , если. В случае, когда, но не является предельной дляX, f считается непрерывной в ней без каких-либо условий.

Переформулируем понятие непрерывности функции в точке на языке ““ (в смысле Коши).

Определение 4.6. Пусть функция f определена на X и . Функция называется непрерывной в точке, если для любогосуществует такое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Замечание. Обратим внимание на то, что последним условием охвачены оба случая – когда является и не является предельной точкой множестваX. Отметим также, что здесь не нужно требовать, как в определении 4.3, чтобы (почему?).

На языке последовательностей (в смысле Гейне) определение непрерывности функции в точке имеет следующий вид.

Определение 4.7. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности,, для которойпри всехи, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу, т.е..

Обозначим через - приращение (изменение) аргумента при переходе откx, через - соответствующее приращение функции.

Для того, чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению аргумента соответствовало бесконечно малое приращение функции: если, то и.

Определение 4.8. Точка из области определенияX функции f называется точкой разрыва, если в этой точке f не является непрерывной.

Для точек разрыва обычно используется следующая простая классификация.

Определение 4.9. Пусть - точка разрыва функцииf .

называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют и конечны

и .

Ясно, что в этом случае f() не совпадает хотя бы с одним из этих пределов.

Определение 4.10. Точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, если

.

Очевидно, что переопределив функцию f в точке , можно добиться непрерывности функции в этой точке.

Определение 4.11. Точка разрыва функции f называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода.

Иначе говоря, если при x→+0 или при x→-0 соответствующий односторонний предел не существует. В частности, при этом f(x) может стремиться к .

Рассмотрим нескольких примеров.

Пример 4.6. Пусть f – функция Дирихле (см. пример 4.3), X=R. Все точки из R являются точками разрыва, так как в каждой из них предел функции не существует.

Пример 4.7. Пусть f – функция Римана:

f(x)=

идробьнесократима. Покажем, что функция Римана разрывна в рациональных точках и непрерывна в иррациональных.

Пусть =. Рассмотрим последовательность,, состоящую из иррациональных чисел и сходящуюся к(например,,). Тогда= 0, ине стремится кf()=>0.

Пусть теперь иррационально,f()=0. Пусть >0 и пусть <. Нетрудно понять, что для некоторого >0 в -окрестности точки нет рациональных точек видасо знаменателем. Поэтому для всехx из этой окрестности справедливо:

.

Задача 4.4. Установите характер точек разрыва в примерах 4.6 – 4.7.

Задача 4.5.** Докажите, что не существует такой функции f: R  R, которая была бы непрерывной в каждой рациональной точке и разрывной в каждой иррациональной.