4.3. Свойства функций, имеющих предел

Теорема 4.2. Если функция в данной точке имеет предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки, то есть

, ,:.

Доказательство. Обозначим и рассмотрим. Из определения 4.3. следует существование такого , что для всякогоиз неравенстввытекает неравенство. Остается положить.Теорема доказана.

Использование определения предела функции по Гейне позволяет перенести утверждения, доказанные ранее для последовательностей, на случай произвольных функций.

Теорема 4.3. Пусть функции ,иопределены на множестве, на котором выполняются неравенства. Пусть существуют, тогда.

Доказательство непосредственно вытекает из определения предела функции по Гейне и леммы о двух милиционерах.

Теорема 4.4. Пусть функции иопределены на множестве. Пустьи. Тогда

=;

=;

и, если при любом и, то

=.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая отношения двух функций. Выберем произвольно последовательность ,, для которой,при любоми. Тогда,и по теореме 3.12.

.

Теорема доказана.

4.4. Критерий Коши существования предела функции

Пусть :и пусть– предельная точка множества.

Теорема 4.5. Для того чтобы функция имела конечный предел в точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для любогосуществовало такое число, что для всехиз неравенств,следует неравенство.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Это означает, что для любогосуществует такое число, что для любогоиз неравенстввытекает неравенство. Пусть,,, тогда

.

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Рассмотрим последовательность ,, для которой,при любоми.

Выберем произвольно и рассмотрим- число, фигурирующее в условии Коши. Воспользуемся определением предела последовательностии обозначим черезномер, начиная с которого выполняется неравенство. Пусть. Тогда,и, по условию Коши,. Это означает, что последовательность,, фундаментальна и, в силу критерия Коши для последовательностей, сходится.

Итак, мы показали, что для любой подходящей последовательности ,, соответствующая последовательность,, сходится. Докажем, что пределне зависит от выбора подходящей последовательности.

Пусть и,, - две подходящие последовательности. Образуем из них новую последовательность

Эта последовательность также сходится к (см. задачу 3.15). Из доказанного выше следует, чтосходится, и поэтому последовательностииимеют одинаковые пределы.Теорема доказана.

4.5. Расширение понятия предела. Односторонние пределы

Понятие предела функции, приведенное в разделе 4.2, может быть расширено в различных направлениях. Так, можно рассматривать, к чему стремится функция при условии, что либо , либостремится к некоторому числу, оставаясь меньше этого числа, то есть при. Далее, можно предусмотреть, что функция стремится кпри том или ином поведении аргумента и т.д. Возникающие таким образом варианты предельного перехода можно записать в общем виде:

стремится к при, стремящемся к.

Выбирая в каждом из двух столбцов по одному символу, получим тот или иной из двадцати четырех возможных вариантов. Для каждого из них можно записать формальное определение на языке “”, подобное определению 4.3 или на языке последовательностей, подобное определению 4.4.

Рассмотрим несколько случаев.

Пример 4.4.при.

Пусть функция определена на неограниченном множестве, и пустьA – некоторое число. Тогда условие

в формальной записи имеет вид:

.

Или, на языке последовательностей,

.

Задача 4.2. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 4.1, докажите эквивалентность определений, приведенных в примере 4.4.

Пример 4.5.при.

Пусть функция определена на множестве, и пусть точкаявляется предельной точкой множества. Пусть

.

Тогда условие

на языке “”имеет вид:

,

а на языке последовательностей:

.

В этом случае число называется левосторонним пределом функциии обозначается

.

Аналогично определяется правосторонний предел, при этом вместо рассматривается.

Теорема 4.6. Пусть функцияопределена на множестве, и пусть точкаявляется предельной точкой множестви. Тогда

существует в том и только в том случае, когда существуют и равны между собойи.

Задача 4.3. Докажите теорему 4.6.