3.8. Критерий Коши

Здесь предлагается рассмотреть общий признак существования конечного предела для последовательности ,.

Определение 3.5. Последовательность ,, называется фундаментальной, если для произвольного числанайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство.

Определение фундаментальной последовательности часто удобно использовать в следующем виде.

Определение 3.6. Последовательность является фундаментальной, если для произвольного числанайдется такой номер, что для всехи любого натурального числавыполняется неравенство.

Теорема 3.13 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность ,, сходится, то есть существует . Выберем . Тогда найдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:.

Пусть и, тогда

=,

что означает фундаментальность последовательности.

Достаточность. Пусть последовательность является фундаментальной. Докажем, что она сходится. Трудность заключается в обнаружении такого числаа, которое является её пределом.

Разобьём рассуждение на несколько шагов.

а) Докажем, что из фундаментальности последовательности вытекает её ограниченность. Рассмотрим ε=1, тогда найдётся такой номер n₁, что при всех

n, m ≥n₁ выполняется неравенство . При всехn≥n₁ справедливо:

.

Пусть , а, тогда для каждого натуральноговыполнены неравенства, то естьограничена.

б) Выберем натуральное n. Рассмотрим множество - множество значений членов последовательности, номера которых не меньше выбранногоn. По доказанному в а) множество X₁ ограничено. А из очевидных вложений следует, что каждое из этих множеств ограничено.

в) Рассмотрим две новые последовательности. С этой целью для каждого множества обозначим: , . Из приведённых в б) вложений вытекает, что последовательность возрастает (), а последовательностьубывает (). Поэтому, то есть последовательности монотонны и ограничены и, следовательно, сходятся. Отметим также, что при всех натуральныхn очевидны неравенства .

г) Докажем, что разность этих двух последовательностей стремится к нулю: . Воспользуемся условием фундаментальности. Для произвольного числанайдется такой номер, что для всехk ≥ n_ε выполняются неравенства . Эти неравенства позволяют сделать вывод о том, что

при n≥n_ε . Следовательно, .

д) По доказанному в части в) последовательность сходится, пусть . Так как и, то из неравенств и из леммы о двух милиционерах следует, что . Достаточность доказана. Теорема доказана.

3.9. Подпоследовательности. Частичные пределы

Определение 3.7. Пусть ,, - некоторая числовая последовательность и пусть,- строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность вида,, называется подпоследовательностью последовательности.

Если у последовательности нет предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо подпоследовательности.

Определение 3.8. Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример 3.18 . Пусть . Эта последовательность расходится (см. раздел 3.2), но ее подпоследовательностиисходятся соответственно к 1 и -1. Таким образом, эти числа являются частичными пределами последовательности.

Теорема 3.14. Пусть последовательность ,, сходится к числуa. Тогда любая её подпоследовательность также сходится к a.

Доказательство. Пусть ,, - подпоследовательность последовательности,. Так какстрого возрастающая последовательность натуральных чисел, топри всех(это легко доказать по индукции). Выберем. По определению сходимостикa для всех будет выполнено неравенство.Теорема доказана.

Задача 3.14 Докажите, что для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы сходилась каждая ее подпоследовательность.

Задача 3.15. Докажите, что из условий a и a вытекает, что a.

Задача 3.16. Приведите пример последовательности, которая имеет ровно десять частичных пределов.

Задача 3.17. Приведите пример последовательности, для которой каждое действительное число является частичным пределом.

_{Рассмотрим вопрос о существовании частичных пределов в случае ограниченной} последовательности.

_{Теорема 3.15 (Больцано-Вейерштрасс). Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.}

Доказательство. В силу ограниченности последовательности можно указать такие числа , что для любоговыполняются неравенства. Разделим отрезокпополам. Тогда хотя бы в одной половине будет содержаться бесконечное множество членов последовательности. Это следует из того, что последовательность состоит из бесконечного числа членов, а половин всего две. Выберем эту половину и обозначим через , если обе таковы - то любую из них.

Далее, отрезок снова разделим пополам и выберем половину, содержащую бесконечное множество членов последовательности. Обозначим ее через . Продолжая этот процесс, на -ом шаге получим отрезок , в котором содержится бесконечно много членов данной последовательности. Каждый из построенных отрезков содержится в предыдущем. Длина отрезкаравна, то есть стремится к нулю с ростом. Применяя лемму Кантора о вложенных отрезках, получим, что последовательностиистремятся к общему пределу, обозначим его череза.

Построим теперь сходящуюся к а подпоследовательность. В качестве выберем любой из членов последовательности, содержащихся в. В качествевыберем такой член последовательности, который содержится ви номеркоторого больше(здесь используется то, что отрезоксодержит бесконечно много членов последовательности). Рассуждая аналогично, на -ом шаге в качестве выберем такой член последовательности, который содержится ви номеркоторого больше. Напомним, что каждый из построенных отрезков содержит бесконечно много членов последовательности, что и обуславливает возможность такого выбора. Так как, а, то по лемме о двух милиционерах.Теорема доказана.

Множество всех частичных пределов последовательности обозначим через . Доказанную теорему Больцано-Вейерштрасса можно переформулировать так:

у всякой ограниченной последовательности множество частичных пределов не пусто.

Дополнительно отметим, что из ограниченности последовательности по теореме о предельном переходе в неравенствах следует и ограниченность множества . Значит, множествоимеет точные верхнюю и нижнюю грани.

Определение 3.9. Пусть ,, - ограниченная последовательность, и пусть- множество всех ее частичных пределов. Значения,называются соответственно нижним и верхним пределами последовательности.

Из этого определения непосредственно не вытекает, что числа ,принадлежат множеству, но, тем не менее, справедлива

Теорема 3.16. Верхний и нижний пределы ограниченной последовательности являются её частичными пределами.

Доказательство. Покажем, что существует такая подпоследовательность , что. Так как<, то по определению точной верхней грани найдетсяиз,для которого . Далее, найдется, для которого, и вообще, для любогонайдется, удовлетворяющее неравенствам :

.

Так как каждое - частичный предел, то любая окрестностьсодержит бесконечно много членов последовательности. Поэтому существует номер, для которого; существует номер, для которого

и .

Продолжая рассуждения, для каждого рассмотрим, удовлетворяющий условиям

и .

Построенная таким образом подпоследовательность удовлетворяет неравенствам

и по лемме о двух милиционерах стремится к .

Аналогично строится подпоследовательность, сходящаяся к .Теорема доказана.

Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что не существует такой последовательности, множеством всех частичных пределов которой является ограниченный интервал.

Будем обозначать верхний и нижний пределы последовательности через исоответственно. В качестве одного из характерных свойств этих величин докажем следующую теорему.

Теорема 3.17. Пусть – ограниченная последовательность,;. Тогда для любого положительного числакаждому из неравенствиудовлетворяет лишь конечное множество членов последовательности.

Доказательство. Предположим противное. Пусть множество номеров членов последовательности, удовлетворяющих неравенству, бесконечно. Расположим эти номера в порядке строгого возрастания:Тогда подпоследовательностьудовлетворяет неравенствам. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, пределкоторой больше чем. Ясно, что, а это противоречит тому, что- верхняя грань. Полученное противоречие доказывает теорему.