1. Введение

1.1.О предмете

Университетский курс математического анализа является, по-видимому, самым большим среди всех дисциплин, включенных в учебные планы всех специальностей высшей школы. Учебный план специальности «Прикладная математика и информатика» предусматривает 560 часов аудиторных занятий в течение четырех семестров. Чем же объясняется важность этого курса в современной системе знаний? Здесь можно выделить три причины. Во-первых, методы математического анализа имеют широчайшее применение в разнообразных научных и технических направлениях; во-вторых, эти методы вырабатывались в течение многих десятилетий и составили значительную часть математики в целом и, в-третьих, аппарат математического анализа эффективен и доступен.

Математический анализ - это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, и поэтому можно сказать, что математический анализ изучает функции посредством бесконечно малых.

Название "математический анализ" - видоизменение старого названия этой части математики "анализ бесконечно малых". Оно, в свою очередь, сокращение исторического названия "анализ посредством бесконечно малых". В классическом анализе объектом изучения являются прежде всего функции.

В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями. Законы явлений природы также могут быть описаны некоторыми функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций.

В широком понимании термин "математический анализ" охватывает весьма большую часть математики. В него входят дифференциальное и интегральное исчисление, теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, теория приближения, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, функциональный анализ. Другие разделы, например теория вероятностей, применяют и развивают методы математического анализа. Но все же словосочетание "математический анализ" чаще употребляется для наименования основ этой науки.

1.2. Немного истории

Реально метод бесконечно малых применялся еще учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения задач геометрии. Однако древнегреческие математики не только не разработали каких-либо методов вычисления пределов, но и вообще не сформулировали понятие предела.

До 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Каждая задача решалась своим, часто достаточно сложным методом. Но в 17 веке после создания Рене Декартом аналитической геометрии возникает задача исследования кривых, в частности, задача определения углового коэффициента касательной к кривой, т.е. определения производной. Приблизительно в это же время развитие механики ставит свои задачи в области математического анализа.

Как единое и систематическое целое математический анализ сложился в трудах великих ученых 17-18 веков Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера, Жозефа Лагранжа, Иоганна и Якова Бернулли. Особенно плодотворными оказались последние десятилетия 17 века, именно тогда – в 1684 году – Лейбниц опубликовал статью «Об анализе бесконечного», которая официально считается первой публикацией по математическому анализу, в эти годы аналитическими методами были решены важные задачи геометрии и механики, а влиятельный маркиз и прилежный ученик Иоганна Бернулли де Лопиталь, увлеченный новыми идеями, в 1696 году выпустил книгу «Анализ бесконечно малых» - первый учебник по математическому анализу. Однако современные очертания курс математического анализа приобрел лишь в 19 веке благодаря, в первую очередь, работам Огюстена Коши.