Нахождение числа всех подмножеств данного множества
Если задано некоторое множество А, то можно рассматривать новое множество М (А) – множество всех его подмножеств.
Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество А={}?
По
свойствам отношения включения, имеем
Æ
А
и А
.
Таким образом, одноэлементное множество А={} имеет 2 подмножества.
Пример 2. Сколько всего подмножеств имеет двухэлементное множество А={а, в}?
По
свойствам отношения включения, имеем
Æ
А
и А
.
Одноэлементные подмножества: {а}, {в}.
Таким образом, двухэлементное множество А={а, в} всего имеет 4 подмножества.
Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет трехэлементное множество А = {, ○, ◊}?
По
свойствам отношения включения, имеем
Æ
А
и А
.
Одноэлементные подмножества: {}, {○}, {◊}.
Двухэлементные подмножества: {, ○}, {, ◊}, {○, ◊}.
Таким образом, трехэлементное множество А = {, ○, ◊} всего имеет 8 подмножеств.
Пример 4. Сколько всего подмножеств имеет четырехэлементное множество А = {а, в, с, d}?
По
свойствам отношения включения, имеем
Æ
А
и А
.
Одноэлементные подмножества: {а}, {в}, {с}, {d}. Двухэлементные подмножества: {а, в}, {а, с}, {a, d}, {в, с}, {в, d}, {с, d}. Трехэлементные подмножества: {а, в, с}, {a, в, d}, {а, с, d}, {в, с, d}.
Таким образом, четырехэлементное множество всего имеет 16 подмножеств.
Нетрудно заметить, что с увеличением количества элементов множества А, число всех его подмножеств значительно увеличивается. Возникает вопрос: сколько подмножеств имеет множество из n – элементов?
Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 5. Конечное множество, содержащее n элементов, имеет 2п подмножеств, то есть если Ап = {а1, а2, ... , aп }, то п(М(Ап))=2п.
Доказательство проведем, используя метод математической индукции.
1) Путь п = 1, то есть А1 = { а1}. Значит, М(А1)= {Æ, { а1}}.
В этом случае п(М(А1)) = 21 = 2 что и доказывает справедливость теоремы при п = 1.
2) Пусть п = к, то есть Aк = { а1, а2, ..., aк }.
Предположим,
что п(М(Aк))
=
2
,
то есть множество Aк
имеет
2
подмножеств.
3)
Докажем, что тогда множество Aк+1,
имеет
2
подмножеств. В самом деле, если к элементам
множества Aк,
содержащего
к
элементов,
добавить еще один элемент aк+1,
то к имеющимся 2
подмножествам добавятся еще 2
новых подмножества, и, следовательно,
множество Aк+1,
содержащее
к
+
1 элементов, будет иметь 2
+ 2
=
2
2
= 2
подмножеств.
Таким
образом, п(М(Aк+1))
=
2
.
На основании метода математической индукции можно сделать вывод, что Теорема. 5 справедлива для любого натурального числа п. Теорема доказана.
Понятие факториала
Название «факториал» происходит от слова «factor» − «множитель». Термин «factorielle» ввёл французский математик Луи Арбогаст (1759–1803) в 1800 году.13
Факториал
– это функция,
определённая на множестве целых
неотрицательных чисел
,
значение которой равно произведению
целых неотрицательных чисел от 1 до
данного числаn,
то есть 1∙2∙3∙ …∙n;
Обозначают символом n!.
По определению 0! = 1, 1! = 1.
Обозначение n! впервые использовал французский математик Христиан Крамп (1760 – 1826 гг.) в 1808 году.
По
определению факториала имеем:
,
.
Пример 1.
Вычислим:
Пример 2. Упростим выражение:
Пример
3. Докажем
формулу
.
Воспользуемся методом математической индукции.
При п=1 имеем,
откуда 1=1, значит дляп=1
формула верна.Предположим, что формула верна, для п=к, то есть
.Докажем, что формула верна, для п=к+1, то есть
.
Действительно,
=
,
что и требовалось доказать.
На основании метода математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа п.
Пример
4. Найти сумму
Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по формуле
.
Имеем,
=
так как все слагаемые в левой части
равенства, за исключением второго и
предпоследнего взаимно уничтожаются.
Следовательно,
=