3.1.3. Закон движения центра масс.

Центром масс системы (тела) называется воображаемая точка C, расположение определяется радиус-вектором:

,

(3.7)

где: m_i и - соответственно масса и радиус-вектор i-той материальной точки; - масса системы.

Для скорости центра масс получаем:

или

(3.8)

Импульс системы материальных точек равен произведению суммарной массы системы на скорость ее центра масс.

Откуда получаем закон движения центра масс системы материальных точек (тела, тел):

(3.9)

“ Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенной системе”.

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

3.1.4. Уравнение движения тела переменной массы. Реактивное движение.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы. Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m – dm, а скорость станет равной . Тогда изменение импульса системы за отрезов времени dt будет равным:

(3.10)

где – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда импульс

(3.11)

Если учесть, что бесконечно малая величина относительно других, то согласно закону (3.5) изменения импульса системы тел получим:

(3.12)

или

(3.13)

Величину называют реактивной силой.

Если и противоположны по направлению, то ракета ускоряется, если и совпадают по направлению, то ракета тормозится.

Таким образом:

(3.14)

Это уравнение движения тела переменной массы. Его вывел И.В. Мещерский (1859 – 1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась ещё в 1881 году Н.И. Кибальчичем (1857 – 1905). В 1903 году он опубликовал статьи по теории жидкой основы реактивного двигателя.

Если на ракету не действуют никакие внешние силы и, считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна, ракета движется прямолинейно, получим следующее:

(3.15)

Значение постоянной интегрирования c определим из начальных условий.

Если в начальный момент времени v₀ =0, а её стартовая масса равна m₀, то Const = uln m₀, следовательно,

(3.16)

Последнее соотношение – формула Циалковского. Она показывает, что:

1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m₀;

2) чем больше u (скорость истечения газов), тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнение движущегося тела переменной массы и формула Циалковского получены для нерелятевистских движений, т.е. когда скорость ракеты много меньше скорости света в вакууме.