Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

физика / 09_garmonicheskie_kolebania

.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
232.45 Кб
Скачать

Федун В.И. Конспект лекций по физике Механические колебания и волны

Колебания и упругие волны.

Лекция 9.

8. Гармонические колебания и их основные характеристики.

8. 1. Свободные колебания и их основные характеристтики. Представления гармонических колебаний.

Колебательным движением называется движение, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени. Движение называется периодическим, если значения величин, изменяющихся в процессе движения. Повторяются через равные промежутки времени.

Систему, совершающую колебания, независимо от ее природы называют осциллятором.

Свободные колебания. Для тела (точки), совершающей колебания, существует положение устойчивого равновесия. Вывести тело из этого состояния можно, приложив внешнюю силу. Тело, выведенное из состояния равновесия и представленное самому себе, совершает колебания около положения равновесия. Такие колебания называются собственными или свободными. Частота , с которой система совершает такие колебания, называется собственной.

Простейшим типом колебаний являются гармонические, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармоническое колебание может быть представлено в трех видах: графическом, аналитическом и векторным. Графическое представление колебаний изо­бражено на рис. 8.1.

Рисунок 8.1.

Аналитическое представление гармонических колебаний не менее известно:

(8.1)

где - колеблющаяся величина (смещение, скорость, ускорение, сила и т.п.), - время, - амплитуда колебания (амплитуда равна максимальному абсолютному значению отклонения колеблющейся величины от положения равновесия), - циклическая или круговая частота.

Физический смысл циклической частоты состоит в том, что она численно равна числу колебаний, совершаемых за секунд, т.е.

(8.2)

где - частота колебаний, т.е. число колебаний, совершаемых за единицу времени, - период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание.

Величина называется фазой колебания. Фаза колебания – функция времени, которая определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени . Она показывает, какую часть от амплитуды составляет смещение в данный момент времени: . Величина называется начальной фазой колебания. Она определяет значение величины в начальный момент времени .

Наконец, в векторном представлении колебание представляется в виде вектора, длина которого пропорциональна амплитуде колебаний (см. рис.8.2). Сам вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью  вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через начало вектора

колебания. Первоначальное отклонение вектора от горизонтали изображает начальную фазу колебания.

Этот вид представления колебаний особенно удобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная сумма всех слагаемых, и будет использоваться во всем курсе.

Рисунок 8.2.

8. 2. Пружинный маятник. Дифференциальное уравнение свободных колебаний.

Пружинный маятник. Примером гармонического осциллятора является пружинный маятник. Пружинный маятник – это груз массой т, закрепленный на абсолютно упругой пружине (см. рис. 8.3) и совершающий гармонические колебания под действием упругой или квазиупругой силы (силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также

удовлетворяющие уравнению , называются квази­упругими). Эта сила всегда направлена к положению равновесия, а смещение - в противоположную сторону, поэтому значения силы и смещения имеют противоположные знаки.

Рисунок 8.3.

Такая сила называется возвращающей силой. По второму закону Ньютона для возвращающей силы имеем

(8.3)

где - масса груза, - коэффициент упругости пружины.

Отсюда введя величину

.

(8.4)

получаем дифференциальное уравнение собственных колебаний

.

(8.5)

В математике такое уравнение относят к классу дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которое имеет решение

.

(8.6)

или после перехода от комплексной формы к тригонометрической

.

(8.7)

Таким образом, выражения (1) и (7) совпадают. Следовательно, величина есть циклическая частота, а - период собственных колебаний можно определить по формуле:

(8.8)

8. 3. 1. Физический маятник.

Рассмотрим вращение массивного тела (см. рис.8.4) вокруг неподвижной оси при малых отклонениях этого тела от положения равновесия. В этом случае такое тело называют физическим маятником. Уравнением движение этого тела является основное уравнение динамики вращательного движения

(8.9)

где - момент инерции тела, вычисленный относительно оси вращения, - главный вектор моментов сил, - угол поворота тела, - угловое ускорение тела.

Напомним, что является псевдовектором, который направлен вдоль оси вращения и подчиняется правилу правого винта. Поэтому на рис. 8.4 вектор направлен за плоскость рисунка.

К вращению тело приводит только момент силы тяжести , точка приложения которой совпадает с центром инерции тела. Поэтому главный вектор моментов сил

(8.10)

где - радиус-вектор центра инерции, берущий начало на оси вращения. Проектируя вектор на ось вращения получаем

(8.11)

где - расстояние от оси вращения до центра инерции, -масса тела

Знак «минус» в (11) означает, что векторы и имеют противоположные направления.

При малых отклонениях физического маятника от положения равновесия можно считать, что

.

Такое приближение дает расхождение между углом (измеряемом в радианах) и его синусом при менее чем три процента.

Рисунок 8.

Проектируя (9) на ось вращения получаем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

(8.12)

где - собственная частота колебаний физического маятника:

.

(8.13)

8. 3. 2. Математический маятник.

Если размеры тела много меньше расстояния от оси вращения до центра инерции, то физический маятник можно считать математическим. Здесь проверим справедливость этого утверждения сделав предельный переход для частоты колебаний, определяемой по (8.13).

По теореме Штейнера момент инерции , - момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции. Если достаточно велико, то . Следовательно,

.

Таким образом, получено известное из школьного курса выражение для круговой частоты собственных колебаний математического маятника

.

(8.14)

8. 4. Скорость и ускорение тела, участвующего в гармонических колебаниях. Кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия осциллятора.

На примере пружинного маятника найдем скорость и ускорение тела, совершающего колебательное движение. По определению скорость тела . Следовательно, при гармонических колебаниях согласно (8.1)

,

(8.15)

а ускорение тела

.

(8.16)

Тогда по основному закону динамики возвращающая сила

.

(8.17)

Кинетическая энергия осциллятора по определению

.

(8.18)

Потенциальная энергия деформированной пружины

.

(8.19)

Следовательно, полная механическая энергия гармонического осцил­лятора

.

(8.20)

113

Соседние файлы в папке физика