Федун В.И. Конспект лекций по физике Механика

Лекция 6.

5. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

5.1. Момент силы.

Для характеристики внешнего механического действия на тело, приводящего к изменению вращательного движения тела, вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.

5. 1. 1. Момент силы относительно неподвижной точки.

	Моментом силы относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса-вектора , проведённого из точки О в точку А приложения силы на вектор силы (рис. 5.1): (5.1)
Рисунок 5.1

По величине:

(5.2)

где: - угол между векторами и ; - длина перпендикуляра ОВ, опущенного из точки О на линию действия силы. Величина называется плечом силы относительно точки О.

Из определения (5.1) видно, что при переносе точки приложения силы вдоль линии её действия момент силы не меняется.

Если линия действия силы проходит через точку О (полюс), то момент силы равен нулю.

Главным (результирующим) моментом нескольких сил называется вектор , равный векторной сумме всех моментов этих сил относительно данной точки.

(5.3)

Из третьего закона Ньютона следует, что моменты внутренних сил механической системы попарно компенсируются:

(5.4)

Действительно, из рис. 5.2 видно, что из-за того, что силы и действуют по прямой, соединяющей точки n и m, плечи l этих сил одинаковы.

Следовательно, при вычислении главного момента сил нужно учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.

Рисунок 5.2.

5. 1. 2. Момент силы относительно неподвижной оси

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется величина ,равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О оси z.

Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Момент силы относительно неподвижной оси z можно представить в виде:

(5.5)

где - орт оси z , . - составляющая вектора момента силы относительно полюса О, направленная вдоль оси z .

	Рассмотрим подробнее. Пусть точка А - точка приложения силы , точка О1-основание пер­пен­дикуляра, опущен­ного из точки А на ось ОZ (рис. 5.3). Силу удобно разложить на три взаимно перпенди­ку­лярные составляющие:
Рисунок 5.3.

-осевую, параллельную оси OZ;

-радиальную, направленную вдоль вектора

-касательную, перпендикулярную и оси OZ и вектору .

Если линия действия силы параллельна оси или пересекает ось, то момент силы равен нулю.

Поэтому моменты составляющих и равны нулю и :

;

(5.6)

Главный (результирующий)момент нескольких сил относительно неподвижной оси равен алгебраической сумме моментов каждой силы относительно этой оси.

Момент силы представляет собой псевдовектор, его направление совпадает с поступательным движением правого винта при его вращении от к .

5. 2. Момент импульса.

5. 2. 1. Момент импульса(кол-ва движения)материальной точки относительно неподвижной точки.

Моментом импульса (количества движения) относительно неподвижной точки (полюса) называется вектор , равный векторному произведению радиуса-вектора , проведённого из полюса в место нахождения материальной точки на вектор её импульса.

(5.7)

где , , - масса, радиус-вектор и скорость i-той материальной точки, а N-общее число точек системы.

5. 2. 3. Момент импульса тела относительно неподвижной точки.

Момент импульса тела относительно неподвижной точки О, вокруг которой это тело вращается с угловой скоростью , равен:

(5.8)

- радиус-вектор, проведённый из точки О к малому элементу тела массой dm; - скорость этого элемента тела.

Поскольку

,

то векторы и в общем случае не совпадают по направлению

(5.9)

5. 2. 4. Момент импульса механической системы относительно неподвижной оси.

Моментом импульса системы относительно неподвижной оси называется величина ,равная проекции на эту ось вектора момента импульса системы относительно какой-либо точки О, принадлежащей этой оси:

(5.10)

Выбор положения точки О на оси а не влияет на числовое значение величины .

Под моментом импульса системы относительно неподвижной оси ОZ можно понимать векторную величину

(5.11)

где -орт оси ОZ.

Если скорости всех точек системы лежат в плоскостях перпендикулярных выбранной оси ОZ , то (суммарный (полный) момент импульса системы)момент импульса системы может быть представлен в виде векторного произведения:

(5.12)