4. 3. 3. Кинетическая энергия механической системы.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её частей. Например, для системы, состоящей из N материальных точек:

(4.35)

4. 3. 4. Закон изменения кинетической энергии механической системы.

Изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил:

(4.36)

где и - элементарные работы внутренних и внешних сил.

Например, для системы, состоящей из Nматериальных точек:

(4.37)

где: -радиус - вектор i-той точки; -результирующая внешних сил, действующих на i-тую точку; - сила, действующая наi-тую точку со стороны k-той точки,

Если система не деформируется, то работа внутренних сил равна нулю и :

(4.38)

Например, изменение кинетической энергии абсолютно твёрдого тела, движущегося поступательно, определяется выражением:

(4.39)

где -главный вектор внешних сил (равный сумме всех внешних сил); -вектор элементарного перемещения теля.

4. 3. 5. Зависимость кинетической энергии от выбора системы отсчёта. Теорема Кёнига.

Если в инерциальной системе отсчёта кинетическая энергия механической системы равна Е_к,а в системе отсчёта ,движущейся относительно поступательно со скоростью ,она равна ,то:

(4.40)

где: M-масса системы, -импульс системы относительно системы отсчёта ; -скорость центра масс системы относительно системы отсчёта .

Вообще говоря, соотношение (4.40) справедливо как для случая ,т.е. когда -инерциальная система, так и для случая, когда .

Система может двигаться относительно системы со скоростью центра масс, т.е. и, соответственно ,тогда:

(4.41)

Это равенство выражает теорему Кёнига.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, обладающая массой, равной массе всей системы, и движущаяся со скоростью её центра масс, а также кинетической энергии той же системы в её движении относительно поступательно движущейся системы отсчёта с началом в центре масс.

Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела со скоростью его центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела вокруг его центра масс.

4. 3. 6. Характерные свойства кинетической энергии.

Кинетическая энергия:

• Всегда положительна;

• неодинакова в различных инерциальных системах отсчёта;

• является функцией состояния системы.

4. 4. Закон сохранения энергии.

Полной механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия.

По определению .

4. 4. 1. Вывод закона сохранения механической энергии.

Рассмотрим систему из Nматериальных точек, имеющих массы и скорости .Массы точек постоянны.

Выпишем второй закон Ньютона для каждой материальной точки:

(4.42)

где -равнодействующая внутренних потенциальных сил;

-равнодействующая внешних потенциальных сил;

f- -равнодействующая неконсервативных сил;

Потенциальные силы будем считать стационарными.

За малое время dtкаждая точка совершает малое перемещение Умножим скалярно каждое уравнение системы (4.42) на это малое перемещение:

(4.43)

Сложим уравнения системы (4.61):

(4.44)

Правая часть уравнения определяет полную элементарную работу потенциальных (консервативных) сил, действующих на систему:

Первый член левой части выражения (4.44) представляет собой суммарное элементарное изменение кинетической энергии всей системы:

Второй член в левой части выражения (4.44) является работой внешних и внутренних потенциальных сил и, с учётом (4.39) представляет собой элементарное изменение потенциальной энергии всей системы:

Таким образом, получаем выражение для изменения полной механической энергии системы:

(4.45)

Изменение полной механической энергии системы равно работе непотенциальных сил, действующих на систему.

В случае отсутствия неконсервативных сил, получаем:

(4.46)

Закон сохранения полной механической энергии: при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.

Закон сохранения энергии может выполняться и для замкнутых неконсервативных систем: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние непотенциальные силы не совершают работы.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тело в поле сил тяжести. Его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда это тело начало падать.