4. 2. 3. Потенциальная энергия и работа силы.

Если материаль­ная точка движется в консервативном силовом поле под действием силыпо некоторому путиb от точки до точки , то при этом поле совершает работу

		(4.15)
	Поэтому потенциальная энергия характе­ри­зует возможность совершения работы силой (рис. 4.6). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Рисунок 4.6.

4. 2. 4. Сила как градиент по­тенциальной энергии.

В консервативном статическом силовом по­ле сила однозначно определяется потенциальной энергией:

(4.16)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: для любой точки. Отсюда следует, что .

Примечание: По определению в математике градиент скалярной функции есть

,

где - оператор Гамильтона(оператор набла) - символический вектор:

(4.17)

Силы, для которых выполнимо (4.16) называются потенциальными силами.

4. 2. 5. Потенциальное силовое поле.

Стационарное поле называется потенциальным, если сила , с которой оно действует, потенциальна.

Нестационарное поле () считается потенциальным, если выполняется условие (4.33) при мгновенном переносе точки по замкнутой траектории.

Механическая система называется консервативной, если все действующие не неё непотенциальные силы работы не совершают, а все внешние потенциальные силы стационарны.

4. 2. 6. Работа и функция нестационарного потенциального поля.

Рассмотрим нестационарное потенциальное поле. Потенциальная энергия тела в таком поле зависит не только от координат, но и от времени:

(4.18)

Полный дифференциал:

Тогда, элементарную работу силы, действующей на материальную точку в нестационарном потенциальном поле,можно представить в виде:

(4.19)

Элементарную работу непотенциальной силы также нельзя представить в виде полного дифференциала какой-либо функции координат. Именно поэтому элементарная работа произвольной силы обозначается как .

4 . 2. 7. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.

Все силы, которые могут действовать на материальную точку в поле центральных сил, направлены вдоль прямых, проходящих через одну точку пространства - центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил:

(4.20)

где: -радиус - вектор, проведённый из центра сил в рассматриваемую точку, -проекция силы на направление вектора r,зависящая только от расстояния .

Если материальная точка притягивается к центру сил, то:

(4.21)

если точка отталкивается, то:

(4.22)

Тогда :

(4.23)

и

(4.24)

Обычно за начало отсчета потенциальной энергии в поле центральных сил принимают энергию материальной точки, находящейся бесконечно далеко от центра сил и полагают её равной нулю ().

Тогда, с учётом (4.23) и (4.24):

(4.25)

Примерами центральных силовых полей могут служить гравитационное поле материальной точки и однородного шара и электрическое поле точечного заряда и однородно (равномерно) заряженных сферы или шара.