9. 4. Затухающие колебания.

Если колеблющаяся система находится в вязкой среде, то колебания через некоторое время прекратятся. Это явление представляет собой затухающее колебание.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. В результате амплитуда колебаний уменьшается и колебания затухают.

Система тел, механическая энергия которых постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, называется диссипативной. Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия в диссипативной системе расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при действии двух сил: упругой силы и силы сопротивлениясреды (Для пружинного маятника, изображенного на рис. 8.3, такая зависимость силы сопротивления от скорости наблюдается, если стержень, вдоль которого скользит маятник-втулка смазан жидкостью). Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях имеет вид:

,

или

,

(9.21)

где - масса колеблющегося тела,-ускорение тела,- величина возвращающей силы,-сила сопротивления среды,- коэффициент сопротивления среды,- скорость движения тела в среде. Решение уравнения (9.21) дает зависимость смещенияот времени:

(9.22)

где - амплитуда затухающих колебаний,- основание натурального логарифма,- коэффициент затухания,- циклическая частота затухающих колебаний системы,- собственная циклическая частота свободных колебаний системы (колебаний системы вне вязкой среды).

Рисунок 9. 7.	График затухающих коле­баний при показан на рис. 9.7. Отношение двух после­дующих амплитуд одного и того же знака и, отстоящих друг от друга на период равно
		(9.23)

и называется декрементом затухания. Натуральный логарифм от этого отношения

(9.24)

называется логарифмическим декрементом затухания.

В случае небольших затуханий можно считать, что. Тогда

(9.25)

9. 4. 1 Добротность.

Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы , которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно добротность определяется (с точностью до коэффициента 2) как отношение максимальной энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся системы) к средней величине потерь энергии в системе за период.

Известно, что среднее значение любой переменной величины за период определяется соотношением :

.

Мгновенное значение силы вязкого трения

,

тогда среднее значение работы за единицу времени против этой силы равно:

Выразимчерез функцию двойного угла и подставим его в выражение для:

=, ( 9.26)

поскольку значение второго интеграла в (9.26) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна).

Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия W_потер =  А_трен  Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:

, (9.27)

где . Из выражения (9.27) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными свойствами.Можно сказать также, что добротность - это число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.

Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где изменялась одна координата, в то время как известно, что для полного описания движения точки необходимо задать три координаты. Все эти координаты считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой, то его колебания затухнут быстрее.

123