физика / osnovy_zonnoy_teorii

Лекция №12

(Буланчук О.Н., каф. физики ПГТУ )

Элементы зонной теории твердых тел.

Характерной особенностью энергетического спектра системы, которая состоит из нескольких атомов (например, молекулы), является появление ряда дополнительных энергетических уровней. Возникновение этих уровней обусловлено увеличением количества частиц принимающих участие во взаимодействии и, как следствие, реализации дополнительных видов движения системы (вращательное, колебательное).

При объединении большого количества атомов в кристаллическую структуру твердого тела задача о нахождении энергетического спектра резко усложняется, и для ее решения приходится ввести ряд упрощающих предположений:

1. Рассматриваются только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны (валентные, или оптические).

2. Тепловым движением массивных ядер в узлах кристаллической решетки пренебрегают по сравнению с движением электронов (кристалл – идеальный).

3. Тепловое движение влияет только на распределение электронов по энергетическим состояниям.

4. Электрон движется в поле ионов кристаллической решетки и эффективном самосогласованном поле всех остальных электронов. В этом случае многоэлектронное уравнение Шредингера сводится к одноэлектронному уравнению вида:

,

где — потенциал самосогласованного поля: поля других электронов и поля кристаллической решетки. Поскольку кристаллическая решетка периодична с периодом решетки, то из принципа симметрии следует, что потенциал также будет периодичен. В этом случае волновая функция системы представляет собой произведение волновых функций отдельных электронов, а энергия системы равна сумме энергий электронов. Выбор самосогласованного потенциала является довольно сложной задачей, однако ряд интересных качественных результатов можно получить уже исходя из того, что потенциал является периодической функцией с периодом решетки. В одномерном случае это означает, что

.

В такой модели для волновой функции выполняется теорема Блоха: волновая функция электрона в периодическом поле имеет вид произведения плоской волны на периодическую функцию :

, ,

где . Таким образом является произведением волновой функции свободного электрона, амплитуда которой промодулирована периодической функцией . Кроме того, оказывается периодична по волновому числу : : волновые функции с и оказываются одинаковыми, что означает неразличимость квантовых состояний с соответствующими импульсами. Из вышесказанного следует, что импульс электрона в твердом теле определяется неоднозначно: с точностью до . Поэтому является квазиимпульсом. Расчеты показали, что во внешнем электрическом поле (не связанном с периодичностью решетки) квазиимпульс изменяется по закону, аналогичному обычному импульсу

.

Однако, в отличие от классического случая, возрастание вектора квазиимпульса не означает, что электрон ускоряется.

Конкретный вид определяется видом , который зависит от природы кристалла. При этом, из расчетов следует, что для внешних электронов (например, из подоболочки у натрия) волновые функции оказываются размазанными по кристаллу и сильно перекрываются (Рис.12.1): электрон внутри кристалла теряет свойства частицы и в большей мере обладает волновыми свойствами. Периодическая потенциальная энергия для электронных волн представляет собой аналог дифракционной решетки, поэтому прохождение электронов через металл подобно возникновению дифракционной картины при прохождении рентгеновского излучения через кристалл (аналог дифракция Вульфа-Бреггов). А для электронов нижележащих уровней волновая функция имеет максимум вблизи ионов, что больше напоминает волновую функцию электрона в изолированном атоме.

Оказывается, что энергия электрона также будет периодической функцией . Для одномерного кристалла (с периодом ) эта зависимость имеет вид

.

– обменный интеграл, который описывает энергию переходов тождественных электронов между атомами. Для валентных электронов он имеет отрицательное значение, для электронов положительное значение. Вместо непрерывного параболического спектра , энергетический спектр электрона в металле имеет более сложный вид, показанный на Рис.12.2. Полосы разрешенных энергий чередуются с полосами запрещенных шириной . Область значений при которых является непрерывной функцией называется зоной Брильюэна.

Из характера зависимости следует ряд интересных и необычных особенностей:

1. Характер движения зависит от эффективной массы электрона . Существование эффективной массы следует из :

Подставив в значение , получим:

Далее найдем групповую скорость электрона в металле, учитывая, что :

Тогда ускорение будет равно:

Подставив в значение из получим:

Из видно, что ускорение обратно пропорционально величине, которая получила название эффективной массы:

Характер движения электрона в периодическом поле такое же, как и движение свободного электрона с массой . Эффективная масса оказывается различной для разных веществ. Например, для германия () ; для кремния ():. В общем случае эффективна масса зависит от направления движения электрона в кристалле.

Из Рис.12.2 следует:

1. Вблизи дна зоны (область ) движение электрона практически не отличается от движения электрона с массой : .

2. Точка является точкой перегиба, в которой . Это означает, что внешнее поле не может изменить скорость электрона с энергией .

3. Вблизи точки: <0 и . Из этого следует, что электрон движется по направлению (как частица с положительным зарядом), при этом скорость электрона уменьшается с ростом . Замечание: если , тогда уравнение движения эквивалентно , что описывает движение частицы с положительным зарядом – «дырки».

Следует отметить, что введение понятия эффективной массы отражает коллективный характер взаимодействия электрона с кристаллической решеткой и другими электронами. Вследствие вышеперечисленных необычных особенностей электроны и дырки в твердом теле являются электронно-дырочный газом квазичастиц.

Более точные расчеты показывают, что на самом деле непрерывные кривые на Рис.12.2 состоят из большого, но конечного, множества отдельных точек. Это означает, что энергетический спектр электронов в пределах разрешенной зоны состоит из системы близко расположенных дискретных уровней, число которых оказывается пропорциональным числу атомов. Такого типа энергетический спектр получил название квазинепрерывного.

Физически происхождение зонной структуры энергетического спектра электронов в кристалле связано с образованием кристалла из атомов, каждый из которых обладает дискретным энергетическим спектром. При объединении атомов в кристалл, последний можно трактовать как гигантскую молекулу, в которой электроны всех атомов обобществляются, и которую следует рассматривать как единую квантово механическую систему. При сближении двух (и более) атомов всегда имеет место эффект расщепления энергетических уровней: энергия электронов начинает зависеть от орбитального и магнитного квантового числа: т.е., снимается вырождение по орбитальному и магнитному квантовому числу (остается вырождение по спиновому числу ). На месте уровня с квантовым числом появляется система из подуровней, которая получила название энергетической зоны. Каждый уровень в энергетической зоне—двукратно вырожден. При этом расщепление энергетических уровней более выражено для внешних электронов (Рис.12.3).

Расщепление энергетических уровней на систему подуровней обусловлено следующими эффектами:

1. Эффектом Штарка – расщепление электронных уровней энергии атома под действием внутрикристаллического электрического поля (достигает ~ 0,01 эВ). Атом в электрическом поле приобретает дипольный электрический момент , тогда энергия электрона становится, – потенциальная энергия электрического диполя в электрическом поле.

2. Эффект Зеемана —расщепление энергетических уровней атома, находящегося в магнитном поле других атомов кристаллической решетки. При движении электрона по орбите он обладает орбитальным магнитным моментом , энергия которого зависит от его ориентации в пространстве.

Существование энергетических зон позволяет объяснить с единой точки зрения свойства металлов, полупроводников и диэлектриков.

Разрешенную зону, возникающую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома называют валентной зоной (основной зоной). Лежащая выше зона возбужденных уровней получила название зоны проводимости.

Характер движения электрона внутри вещества зависит от соотношения высоты его энергетического уровня и потенциального барьера разделяющего атомы (Рис.12.4). Если энергетический уровень лежит выше потенциального барьера (), то реализуется режим надбарьерного прохождения, если ниже, то имеет место туннельный эффект. В режиме надбарьерного прохождения электрон легко мигрирует от атома к атому, а в режиме туннельного эффекта время оседлой жизни электрона вблизи узла решетки увеличивается. На Рис.12.4 показана схема энергетических уровней в кристалле натрия. Из рисунка видно, что для электронов валентной зоны () энергия превышает высоту потенциального барьера, а для электронов нижележащей зоны оказывается меньше . Коэффициент прохождения всегда больше коэффициента прозрачности (при прочих равных условиях). Поэтому вероятность перехода -электронов от атома к атому будет значительно больше, чем для электронов из зоны. Таким образом, -электроны легко могут принимать участие в явлении электро и теплопроводности. Следует отметить, что для вовлечения электрона в упорядоченное движение, кроме большой вероятности прохождения чрез потенциальный барьер требуется наличие вакантных соседних энергетических уровней.

У металлов валентная зона заполнена электронами частично (Рис.12.5). Это означает, что валентная зона одновременно является зоной проводимости.

Полупроводники и диэлектрики имеют похожие структуры энергетических зон:

а) при полностью заполненная валентная зона;

б) при пустая зона проводимости;

в ) валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной (для диэлектриков эВ, для полупроводников эВ).

Поскольку изолированная система стремится прийти в состояние с минимальной энергией, то электроны (в соответствии с принципом Паули) последовательно будут заполнять энергетические уровни снизу вверх. Электрические свойства вещества будут определяться соотношением между числом электронов и энергетических уровней в верхней из заполненных зон. Для сообщения электрону направленной скорости движения необходимо, чтобы он имел возможность увеличить свою энергию, т. е. осуществлять перемещение по энергетической лестнице вверх. Такое перемещение возможно, если выше имеются вакантные энергетические уровни. Из Рис.12.5 видно, что при низких температурах и в не очень сильных полях это возможно только для металлов, которые являются хорошими проводниками. Полупроводники и диэлектрики при низких температурах не проводят электрический ток.

Однако, сильное электрическое поле может существенно ускорить электроны на расстояниях порядка длины свободного пробега, и тогда они, получив достаточно большую энергию, перемещаются в зону проводимости, где имеется много вакантных энергетических уровней. В этом случае концентрация носителей тока быстро возрастает, что приводит к резкому увеличению тока и разогреву вещества: явлению пробоя полупроводника или диэлектрика.

Следует отметить, что кроме случаев, показанных на Рис.12.5, возможны промежуточные ситуации. Например, для полуметаллов (,,, графит) имеет место частичное перекрытие валентной зоны (которая полностью заполнена электронами) и свободной зоны. Полуметаллы обладают электрическими свойствами промежуточными между металлами и полупроводниками: с одной стороны они остаются проводниками вплоть до абсолютного нуля температуры, с другой стороны при повышении температуры их проводимость возрастает. По сравнению с металлами они обладают относительно малой концентрацией носителей тока, которая растет с увеличением температуры. У безщелевых полупроводников (, —теллурид ртути, ) ширина запрещенной зоны равна нулю:. Они образуют границу между полуметаллами и полупроводниками. У этих веществ с увеличением температуры проводимость растет, а при уменьшении температуры падает. Однако, поскольку для перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости не нужна большая энергия, то даже слабое электрическое поле резко увеличивает концентрацию подвижных носителей заряда, что приводит к существенному отклонению от законов Ома. Кроме того, бесщелевые полупроводники обладают большой диэлектрической проницаемостью.

Собственная проводимость полупроводников.

При все электроны полупроводника находятся в валентной зоне и не могут принимать участия в явлении электропроводности. Связь электронов с атомами может быть разорвана путем следующих воздействий:

1. Нагревом: усилением теплового движения (проводимость полупроводников увеличивается с увеличением температуры). С повышением температуры вследствие теплового движения часть электронов переходят из валентной зоны в зону проводимости. На месте электрона появляется вакантный энергетический уровень- «дырка», которая имеет положительный заряд и эффективную массу. Таким образом, концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне будет одинакова.

2. Облучением светом и электромагнитным излучением (явление зависимости сопротивления от освещенности: фотосопротивление);

3. Помещением вещества в сильное электрическое поле (явление пробоя);

4. Облучением потоком быстрых частиц.

Энергия, которая требуется для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости, называется энергией активации. Энергия активации равна ширине запрещенной зоны. Под воздействием приложенного электрического поля электрон, имея вакантные вышележащие энергетические уровни, может ускоряться и принимать участие в явлении электропроводности. С другой стороны на образовавшуюся вакансию в валентной зоне может перейти электрон от соседнего атома и т.д.

Такое смещение отрицательного заряда эквивалентно движению положительно заряженной частицы ­­– «дырки». Переходы электронов в валентной зоне от одного атома к другому возможны вследствие туннельного эффекта (аналогично для электронов из -зоны на Рис.12.4). В силу зависимости коэффициента прохождение и коэффициента прозрачности от соотношения между высотой потенциального барьера, вероятность перехода электрона от атома к атому будет увеличиваться с увеличением энергии. Это означает, что скорость перемещения электронов в зоне проводимости и валентной зоне будут различными. Поскольку с движением электронов в валентной зона связано движение дырок, то скорость перемещения электронов в зоне проводимости должна быть больше, чем скорость дырок. «Живость», с которой частицы реагируют на электрическое поле, определяется с помощью подвижности :

.

При для м²/Bc, м²/Bc, для м²/Bc, м²/Bc.

В чистом полупроводнике закон Ома в дифференциальной форме будет иметь вид

,

где – концентрация электронов в зоне проводимости (зависит от температуры и других видов воздействия на полупроводник).

В собственном полупроводнике химический потенциал (уровень Ферми) находится посередине запрещенной зоны. Это связанно с тем, что появление электрона в зоне проводимости сопровождается появлением дырки в валентной зоне и энергия, требуемая для этого, делится на 2:

– отсчет от валентной зоны.

При повышении температуры количество электронов в зоне проводимости увеличивается и проводимость возрастает по закону:

.

Следует отметить, что возможен процесс возвращения электрона в зону валентности при столкновении с дыркой, который получил название процесса рекомбинации. Рекомбинация электрона и дырки сопровождается высвобождением энергии, которая может поглощаться кристаллической решеткой, либо излучаться в виде кванта электромагнитного излучения. Излучение электромагнитных волн вследствие рекомбинации широко используется в практической деятельности: полупроводниковых лазерах, светодиодах. Полупроводниковые лазеры обладают следующими свойствами:

1. Коэффициент полезного действия ≤50%;

2. Спектральная перестройка в диапазоне волн 0,3 – 300 мкм;

3. Осуществление накачки посредством:

а) инжекции через переход ­— инжекционный лазер;

б) бомбардировки электронами – электронная накачка;

в) облучения светом: оптическая накачка.

5