физика / spin

7

20.03

Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Фермионы и бозоны. Принцип Паули. Периодическая система Менделеева. Рентгеновское излучение/

Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона.

В предыдущей лекции было показано, что при движении электрона вокруг ядра он создает некоторый электрический ток (см. гипотезу Ампера). Было показано, что отношение магнитного момента к механическому будет равно:

—гиромагнитное соотношение

где —магнетон Бора.

Если механичес­кий момент равен нулю, то и магнит­ный момент также равен нулю (). В 1921 Штерн и Герлах поставили опыты, в которых измерялся магнит­ный (а значит и механический) мо­мент атома (точнее электронов в атоме). Опыты Штерна и Герлаха относятся к числу основополагающих экспериментов атомной физики.

Идея опыта: по величине расщепления пучка, проходящего между полюсами постоянного магнита, определялась сила , действующая на атом в неоднородном магнитном поле.

Затем по величине силы рассчитывался магнитный момент атома. С помощью такой методики удалось экспериментально подтвердить существование магнитных моментов у атомов и их пространственное квантование.

В одномерном случае

.

Для наблюдения эффекта необходимо, чтобы неоднородность поля была достаточно велика на расстояниях порядка размеров атома. Для этого северный полюс магнита был изготовлен в виде призмы с острым ребром вдоль направления пучка, а в южном была проточена канавка в том же направлении. Если пропускать между магнитными полюсами атомы водорода (или другие атомы с одним валентным электроном в состоянии) в основном состоянии для которых , то в этом случае из следует что и на экране должна была наблюдаться одна полоса. На самом деле оказалось две.

При этом расчеты показали, что магнитный момент оказался в два раза больше, чем определяемый по формуле

.

С точки зрения классической физики такой результат был невозможен. Объяснение опыта было предложено в 1925г. Гаудсмитом и Уленбеком, которые предположили наличие у электрона собственного магнитного и механического момента – спина. Спин можно представить как свойство электрона (заряженного шарика) вращающегося вокруг своей оси подобно волчку. Однако такая простая модель в данном случае оказывается неправильной. Зная магнитный, а значит и механический момент электрона можно, используя формулу (где –момент инерции электрона-шарика), рассчитать угловую и линейную скорость вращения электрона вокруг оси. При этом оказывается, что скорость вращения поверхности электрона в 300 раз больше скорости света, что противоречит специальной теории относительности. Это означает, что спин – внутреннее свойство электрона (и других элементарных частиц), например, такое же как заряд и масса, которому нельзя сопоставить классический аналог.

Результаты измерений показали, что спин электрона равен

,

где — спиновое магнитное квантовое число: .

.

где – cпиновое квантовое число,

Таким образом, волновая функция электрона в атоме водрода должна зависеть от 4-х квантовых чисел: . В простейшем случае ее можно представить в виде , где —спиновая волновая функция. Кратность вырождения в этом случае увеличивается в два раза .

Для фотона . С понятием спина связано понятие спиральности частиц—знака проекции спина на направление импульса.

Замечание: спин электрона является релятивистским свойством. Дирак показал, что существование спина является следствием учета релятивистских эффектов в уравнении Шредингера (релятивистское волновое уравнения Дирака).

Учёные из Национального института стандартов США (NIST) создали микроскопический осциллятор, который может использоваться в мобильных телефонах, устройствах беспроводной связи и радарах. Отличие нового прибора в том, что его габариты в сотни раз меньше существующих устройств и сравнимы с толщиной человеческого волоса.

Новый осциллятор может генерировать электрические колебания с частотой от 5 до 40 гигагерц. Принцип его действия основан на периодическом изменении спина электронов в магнитных плёнках, разделённых слоем диамагнетика. Процесс происходит автоматически, частота колебаний зависит от величины протекающего по плёнкам тока.

Активная область экспериментального прибора, построенного учёными из NIST, имеет площадь в несколько квадратных микрон. Осциллятор очень недорог и прост в изготовлении, так что в ближайшем будущем можно ожидать революции в области беспроводных коммуникаций.

Принцип неразличимости одинаковых (тождественных) частиц. Принцип Паули

Поскольку в квантовой механике частицы не имеют траектории, то при перекрытии волновых функции частиц одного сорта в какой-либо области пространства нельзя, обнаружив частицу, достоверно узнать с какой именно частицей мы имеем дело. Если даже в какой либо момент времени нам удалось локализовать электрон, то в последующий момент его координата станет неопределенной и можно говорить только о вероятности нахождения электрона в какой либо области пространства. Таким образом, если после процесса локализации и нумерации электронов в некоторый момент времени мы найдем электрон в данной области пространства, то нельзя точно указать, какой именно из электронов мы обнаружили (поскольку существует вероятность обнаружить любой из них). Например, если взять два удаленных атома водорода, то нельзя абсолютно достоверно утверждать, что возле первого атома находится его “родной” электрон, а не электрон второго атома, поскольку волновая функция второго электрона, хотя и убывает с увеличением расстояния от его ядра, однако не равна нулю возле второго атома.

Это означает, что плотность вероятности (а значит в вероятность) нахождения частицы в заданной точке пространства не должна зависеть от перестановки одинаковых частиц местами, т. е.:

Это свойство получило название принципа неразличимости тождественных частиц: в квантовой механике тождественные частицы (имеющие одинаковую массу, заряд, спин и т.д.) принципиально неразличимы. Принцип неразличимости тождественных частиц является чрезвычайно важным, поскольку из него следует вывод, что системы квантовых частиц необходимо изучать только в совокупности, а не индивидуально.

Однако условию будут удовлетворять две волновые функции

—симметричная

—антисимметричная

Таким образом, условие накладывает дополнительное ограничения на вид волновой функции системы тождественных частиц: она должна либо только симметричной, либо антисимметричными. В связи с этим возник вопрос: “Какие частицы буду описываться симметричной волновой функцией, а какие антисимметричной?”. Дальнейший анализ показал, что система частиц с целым спином (которые назвали бозонами) описываются симметричной волновой функцией, а частицы с полуцелым спином (получившие название фермионов) антисимметричной волновой функцией.

Докажем, что волновая функция системы из двух невзаимодействующих частиц может быть записана в виде произведения двух волновых функций. Рассмотрим одномерное уравнение Шредингера для двух частиц:

Видно, что в данном уравнении переменные характеризующие движение каждой частицы входят независимо, в этом случае частное решение можно искать методом разделения переменных. Волновую функцию системы можно представить в виде произведение волновых функций зависящих от координат каждой из частиц

,

Тогда уравнение Шредингера распадается на два независимых уравнения

Видно, что если первое уравнение умножить на , а второе на и сложить, то получим исходное уравнение. В соответствии с принципом суперпозиции, волновая функция, являющаяся линейной комбинацией волновых функций, также будет описывать возможное состояние системы. Кроме того, она должна удовлетворять принципу неразличимости тождественных частиц. Единственной волновой функцией, удовлетворяющей этим условиям является следующая:

Знак плюс соответствует симметричной, а минус антисимметричной волновой функции. Из следует интересная особенность для фермионов: если , то . Это означает, что два фермиона не могут находиться в одном и том же квантово механическом состоянии (с одинаковыми квантовыми числами) даже при отсутствии взаимодействия между ними. Это утверждение получило название принципа запрета Паули: в одном квантово механическом состоянии (которое характеризуется набором квантово механических чисел) не может находиться больше одного фермиона. Принцип Паули является очень необычным с точки зрения классической физики, поскольку предполагает, что фермионы каким-то образом “узнают” о занятости состояния, даже не воздействуя друг на друга.

6