Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Легко видеть, что npl AB 0, если AB l.

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Th.11.1

(свойства проекции вектора на ось)

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора

на косинус угла между вектором и осью, т.е.

npl a

cos

(11.2)

2. При умножении вектора на число его проекция на ось

также умножается на это число, т.е.

npl

(11.3)

3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций

слагаемых, т.е.

npl

...

npl

... npl

(11.4)

Доказательство.

1. Действительно, пусть

Если (рис. 11.3),

уго между a AB и l.

то A1 B1 l , поэтому

npl AB | A1B1 | | A1B2 | cos | AB | cos .

Если (рис. 11.4), то A B l и

npl AB | A1B1 | | A1B2 | cos( ) | A1B2 | cos| AB | cos .

Рис. 11.4

2. Если 0, то a a (рис. 11.5). Тогда: npl a a cos a cos npl a .

Если 0, то a a (рис. 11.6). В этом случае имеем:

npl a a cos a cos( ) a ( cos ) npl a .


		Рис. 11.5				Рис. 11.6			Рис. 11.7
3. Доказательство проведем для двух слагаемых. Возможны два случая.
Если проекции обоих				векторов положительные					числа (рис. 11.7), то
npl			AC AB BC npl			npl		.
npl	a	b	AC AB BC npl		a	npl	b	.

	Если одна из проекций отрицательна (рис. 11.8), то
	npl a b AC AB BC AB ( BC) npl a npl b.
	Что и требовалось доказать .
	Замечание. Данное свойство можно обобщить на	Рис. 11.8
	любое конечное число слагаемых.	Рис. 11.8
	любое конечное число слагаемых.

Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат

Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат выражается следующей теоремой.

Th.11.2	Если		xa ; ya ; za , то xa npOx		, ya npOy		, za npOz		.
Th.11.2	Если	a	xa ; ya ; za , то xa npOx	a	, ya npOy	a	, za npOz	a	.

Доказательство.

Пусть a OA . Через конец вектора точку A проведем плоскости параллельные координатным плоскостям (xy), (xz), ( yz). Точки пересечения этих

плоскостей с осями Ox, Oy, Oz обозначим соответственно Ax , Ay , Az (рис. 11.9). Очевидно

a OAx OAy OAz OAx i OAy j OAz k.

Сдругой стороны a xa i ya j za k. Значит,

OAx xa , OAy ya , OAz za .

Но OAx npOx a, OAy npOy a, OAz npOz a. Теорема доказана

Следствие. Если a xa ; ya ; za , то

a xa2 ya2 za2

Рис. 11.9

(11.5)

Доказательство вытекает из формулы длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде.

Def. Обозначим углы, которые образует вектор

a с координатными осями

Ox, Oy, Oz через , ,

соответственно.

cos , cos , cos

называются

направляющими косинусами вектора a.

Из треугольника OAAz

(рис. 11.9):

cos

OAz

(11.6)

Аналогично получаем

cos

(11.7)

Нетрудно увидеть, что

cos2 cos2

cos2

(11.8)

Скалярное произведение векторов

Def. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают a, b

или a b. Т.е.

cos ,

(11.9)

где угол между a и b.

Из формулы (11.9) имеем:

cos

(11.10)

Согласно (11.2) npb a

cos .

Заменяя cos по формуле (11.10), получаем:

(11.11)

Соотношение (11.11) можно записать и в таком виде:

npb

npa

(11.12)

Свойства скалярного произведения векторов

(коммутативный закон)

(11.13)

, R

(11.14)


3.				,						,			,		(дистрибутивный закон)	(11.15)
3.		a		,	b		c		a	,	b	a	,	c	(дистрибутивный закон)	(11.15)
4.			2					2								(11.16)
4.	a		2			a		2								(11.16)

5. Два ненулевых вектора a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда a, b 0.

Доказательство.

Свойства 1, 2, 4, 5 вытекают непосредственно из определения. Докажем свойство 3. Согласно (11.12) и (11.4)

a,b c a npa b c a npa b npa c a npa b a npa c a,b a,c .

Что и требовалось доказать .

Th.11.3

Если

xa ; ya ; za и

xb ; yb ; zb , то

xa xb ya yb

za zb .

(11.13)

Доказательство.

xa i ya

xb i yb

(11.14,11.15)

xa xb i,i xa yb

xa zb i,

ya xb

,i ya yb

ya zb

za xb

,i za yb

za zb

i, i

Согласно

(11.16)

А поскольку i,

j, k взаимно

перпендикулярные векторы, то i,

, i i,

, i

Получаем

xa xb ya yb za zb .

образуют угол

Найдите 3

, если

N. Векторы a и b

2, а

Решение.

Упростим искомое выражение на основании свойств скалярного произведения.


												ñâ.3																	ñâ.1,2
3		a		b			a		2		b				3	a	,	a	3	a	, 2	b	b	,	a	b	, 2	b	3a	2 6	a	,	b	a	,	b	2	b	2
3			2 5			,				2				2 .
3	a		2 5		a	,		b		2			b	2 .

Согласно свойству 4: a2 a 4, b2 b 9. По определению скалярного произведения

				2		1
a,b	a	b	cos 2 3 cos		6		3.
a,b	a	b	cos 2 3 cos		6		3.
				3		2

Тогда, 3a b a 2b 12 15 18 21.

Ответ. 21.

ЛЕКЦИЯ 12.

ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторное произведение векторов

Def. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c a b, определяемый следующим образом:

1)c a, c b;

2)a, b, c образуют правую тройку векторов;

3)c a b sin , где угол между a и b.

Свойства векторного произведения

1. a b b a;

(12.1)

(12.2)

(12.3)

;

(12.4)

;

(12.5)

6.Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение есть нулевой вектор.

7.Модуль векторного произведения a b равен площади

параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Доказательство.

1. Очевидно,

что векторы a b

и b a имеют

одинаковые модули,

коллинеарны

и противоположно

направлены, т.к.

тройки a, b, a b и

a, b, b a противоположной ориентации (рис. 12.1). Значит, a b b a .

2. Для 0 утверждение очевидно, т.к. левая и правая часть соотношения (12.2) есть нулевой вектор.

Пусть 0.

Заметим, что

Также

(векторы

a и

лежат в одной плоскости). Значит, векторы

коллинеарны. Очевидно, что и направления их

совпадают. Кроме того, эти векторы имеют одинаковую

Рис. 12.1

длину.

Действительно,

sin .

Учитывая, угол между векторами a и b равен углу между векторами a

то

sin

sin .

Поэтому

a b a b . Аналогично свойство доказывается и для 0 .

3.Свойство 3 является непосредственным следствием свойств 1 и 2.

4.Для доказательства этого свойства воспользуемся следующей леммой.

Lemma

Пусть имеется два вектора

a и b. Обозначим a проекцию

вектора a на плоскость , перпендикулярную вектору b (рис.

12.2). Тогда a b a b.

Доказательство леммы.

Векторы a b

и a b имеют равные модули.

Действительно,

a b

sin ,

где угол между a и b.

a b

sin

cos

Рис. 12.2

a b sin .

Выясним направленность этих векторов. Вектор a b лежит в плоскости

a b a, можем сделать

, т.к

a b b. Учитывая,

что

вывод, что

a b a

(теорема

о трех

перпендикулярах).

Значит, a b

a b

коллинеарны. Кроме того, тройки a,

b, a b и a , b,

a b имеют одинаковую

ориентацию. Значит,

a b

сонаправлены.

Откуда заключаем, что

a b a b

Теперь докажем свойство 4. Соотношение (12.4) справедливо при

c 0.

Пусть

1. Обозначим

через

и b проекции векторов

b на

плоскость, перпендикулярную вектору c (рис. 12.3). Построим a b .

Тогда

векторы

a b c получаются из векторов a ,

a b

соответственно поворотом на угол 90 . И, следовательно,

a b c a c b c.

Атак как, согласно доказанной лемме,

a b c a b c,a c a c, b c b c,

то a b c a c b c .

5.Свойство 5 является непосредственным следствием свойств 1 и 4.

6.Свойство 6 непосредственно вытекает из

определения векторного произведения.

7. Действительно,

a b

sin Snap

(рис.

12.3).

Рис. 12.3

Th.12.1

(выражение векторного произведения через координаты

сомножителей)

Если

xa ; ya ; za и

xb ; yb ; zb , то

a b

(12.6)

Доказательство.

xa i ya

xb i yb

(12.2 12.5)

xa xb i i xa yb i

xa zb i

ya xb

i ya yb

ya zb

za xb

i za yb

za zb

Согласно свойству 6 векторного произведения

i i j j k k 0. По

определению i j k,

j i k, k i j,

i k j,

j k i, k j i.

Имеем

i ya zb za yb

xa zb za xb

xa yb ya xb .

С другой стороны

i ya zb za yb

xa zb za xb

xa yb ya xb .

Теорема доказана .

N. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и b если

где

1; 0;3 ,

1;1; 2 .

a m 3n,

b 2m n,

Решение.

Snap

a b

Упростим

выражение

a b, основываясь на

свойствах

векторного произведения.

ñâ.4,5

ñâ.2,3

ñâ.1,6

0 5

Вычислим n m , по формуле 12.6.

3i 5 j

3; 5;1 .

n m

Значит,

5 3; 5;1 15; 25;5 .

Тогда

Snap

a b

152 ( 25)2 52

875 5

35 (кв. ед.)

Ответ. 5 35 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

Def. Смешанным произведением векторов a, b и c называется число равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора, т.е. a b, c .

Th.12.2

(выражение смешанного

произведения

через координаты

сомножителей)

Если

xa ; ya ; za ,

xb ; yb ; zb и

xc ; yc ; zc то

(12.7)

Доказательство.

Согласно (12.6)

ya zb za yb ; za xb xa zb ; xa yb ya xb .

a b

Согласно (11.13)

ya zb xc za yb xc za xb yc xa zb yc xa yb zc ya xb zc .

С другой стороны

ya zb xc za yb xc za xb yc xa zb yc xa yb zc ya xb zc .

Теорема доказана .

Th.12.3 (свойства смешанного произведения векторов)
1. Смешанное произведение не меняется при перемене мест
знаков векторного и скалярного произведения, т.е.
a b, c a, b c	(12.8)

В связи с этим принято обозначение a b, c a, b c abc

2.При циклической перестановке векторов смешанное

							(12.9)
произведение не меняется, т.е. abc bca cab.							(12.9)

3. При перемене мест любых двух векторов-сомножителей


смешанное	произведение	меняет	свой	знак	на
				(12.10)
противоположный, т.е. abc abc cba ...				(12.10)

4.Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

5.Смешанное произведение векторов a, b и c равно объему

параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если они образуют левую тройку.

Доказательство.

Первые три свойства непосредственно следуют теоремы 12.2 и свойств определителей.

4. Смешанное произведение векторов определяется значением определителя (12.7). Согласно критерию равенства нулю определителя (теорема 7.8) это возможно тогода и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы, т.е. векторы a, b и c

линейно зависимы, а, значит, компланарны .		Рис. 12.4
5. Построим параллелепипед на векторах
	a, b, c.

a b

равно площади параллелограмма So ,

лежащего в основании параллелепипеда.

Если векторы a,

b и c

образуют правую тройку

(рис.

12.4),

то

равна

высоте

npd c

параллелепипеда

H . Если же данные векторы

образуют левую тройку (рис. 12.5), то npd c

Таким образом,

So H Vnap

Рис. 12.5

равна H .

Найти

объем

тетраэдра,

построенного

на

векторах

2; 5;1 ,

1;1; 2 и

3; 4; 0 .

Решение.

abc

memp

6 nap

Найдем abc по формуле (12.7).

abc

13.

Тогда,

(куб.ед.)

memp

Ответ.

куб.ед.

Двойное векторное произведение векторов

Def. Двойным векторным произведением векторов a, b и c называется произведение a b c .

Th.12.4 Для любых векторов a, b и c
a b c b, a, c c, a,b .	(12.11)

Доказательство.

Покажем, что в левой и правой части (12.11) стоит один и тот же вектор. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы i a, а a, b

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf