Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

2) нулевой элемент 0:

a 0 a a K ;

3)a K противоположный элемент a : a ( a) 0 ;

4)a, b K a b b a ;

5)a, b, c K a(b c) ab ac ;

6)a, b, c K (a b)c ac bc .

Если к тому	же (ab)c a(bc) a, b, c K ,	то кольцо	K	называется
ассоциативным.	Если же ab ba , то	кольцо	K	называется
коммутативным.

N. Множество квадратных матриц n-го порядка является ассоциативным кольцом.

Def. Коммутативное кольцо Р называется полем, если:
1)	1 P (единичный элемент): a P 1 a a ;
2)	a P (a 0)	обратный элемент		a 1 P : a a 1 a 1 a 1.
N.	1) Множество квадратных невырожденных матриц не является полем
(Почему?).
2)	Множество рациональных чисел Q и множество действительных чисел R
являются полями.
		Поле комплексных чисел
	Рассмотрим	множества	N, Z,	Q, R. Рассмотрим	уравнение вида
a x b, a, b N . В случае,			если a 2, b 1 , то x N.		Таким образом,

отыскание решений уравнения 2x 1 0 приводит к расширению множества N до множества Z.

Рассмотрим уравнение ax b, a, b Z. Решение уравнения 2x 1 приводит к переходу к множеству Q. Аналогично решение уравнений

x2 a, a Q (a 0)	приводит	к множеству R. Необходимость решать
уравнение типа	x2 1 0	приводит к необходимости дальнейшего

расширения множества чисел.

Поставим задачу построить новую систему чисел, которая бы содержала решения уравнения x2 1 0 и являлась бы расширением множества R.

Def. Пару действительных чисел a; b назовем комплексным числом.

Для построения новой числовой системы необходимо определить основные операции над ее элементами:

1)	a c,	(8.1)
1)	a;b c; d	(8.1)
	b d;
2)	a;b c; d a c;b d ;	(8.2)
3)	a;b c; d ac bd; ad bc ;	(8.3)

Свойства операции над комплексными числами.

Пусть , , - комплексные числа. Тогда:

1. ; 2. ;

3. нулевой элемент 0 (0; 0) : 0 ; 4. противоположный элемент ( ) : ( ) 0 ;

5. ; 6. ;

7. ;

8. единичный элемент 1 (1; 0) : 1 ; 9. (0; 0) обратный элемент 1 : 1 1 1 .

Доказательство.

Свойства 1-3, 5 очевидны, они вытекают непосредственно из определения операций сложения и умножения комплексных чисел. Докажем остальные свойства.

Свойство 4. Пусть (a;b) , тогда	( ) ( a; b) . Действительно,
( ) (a; b) ( a; b) (0; 0) .
Свойство 6. Пусть (a;b), (c; d ), (m; k) .
(a;b) (c; d) (m; k) (ac bd; ad bc) (m; k)
(ac bd )m (ad bc)k; (ac bd )k (ad bc)m
(acm bdm adk bck; ack bdk adm bcm) .
(a;b) (c; d) (m; k) (a;b) (cm dk; ck dm)
a(cm dk) b(ck dm); a(ck dm) b(cm dk)
(acm adk bck bdm; ack adm bcm bdk) .
Значит, .

Свойство 7. Доказывается аналогично свойству 6.

Свойство 8. Докажем, что существует единственный единичный элемент 1 . Необходимо найти такой элемент 1 (x; y) , что 1 (a; b) (a; b) .

Имеем	(x; y) (a;b) (ax by;bx ay) (a;b) . Отсюда получаем систему
линейных уравнений:
ax by a,	x 1,

bx ay b;	y 0.
Значит, 1 (1; 0) - единственный единичный элемент .
Свойство 9. Найдем обратный элемент 1 (u; v)		для (a;b) 0.

1 (a;b)(u; v) (1; 0) . Отсюда:

au bv 1,bu av 0.

Решим полученную

СЛУ

по

формулам Крамера. a2 b2

0 (т.к.

(a; b) 0 ),

b . Имеем,

, v

a2 b2

Значит, 1

Def.	Под	разностью комплексных чисел		и	будем понимать
комплексное число, которое получается следующим образом:
			( )			(8.4)
Т.к. для			каждого комплексного числа	противоположный		элемент
( )	определен однозначно, то и операция вычитания определена
однозначно.
Def.	Число		называют частным от деления числа		на число	, если
.

Пусть (a;b), (c; d ), (x; y) . Тогда

(a;b) (c; d ) (x; y) (cx dy; cy dx)

Составим систему уравнений: cx dy a,

dx cy b.

c2 d 2 ,

ac bd ,

ba cb ad.

Система будет иметь единственное решение, если c2 d 2	0 , т.е
0. В этом случае

ac bd

cb ad

c2 d 2

Таким образом, получаем

(a;b)

ac bd

cb ad

;

(8.5)

(c; d )

Нетрудно проверить, что 1 (сделайте это самостоятельно).

Итак, определены основные операции на множестве комплексных чисел и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел. Свойства введенных операций над комплексными числами позволяют сделать вывод о

(Im z b).

том, что множество комплексных чисел является полем. Поле комплексных чисел обозначают большой латинской буквой С.

Проверим действие введенных операций на множестве действительных чисел. Пару a; 0 отождествим с действительным числом a. Применим к a и

b те арифметические операции,

которые

были

определены на множестве

комплексных чисел. Из (8.2 – 8.5) получаем:

a b (a; 0) (b; 0) (a b; 0) ;

a b (a; 0) (b; 0) (a; 0) ( b; 0) (a b; 0)

ab (a; 0) (b; 0)

(ab 0; 0 0)

(ab; 0)

(a; 0)

ab 0

b 0 a 0

;

; 0 .

b (b; 0)

Таким образом, применение операций на множестве С дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно С есть алгебраическое расширение множества R.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Обозначим (0;1) i . Тогда i2 (0;1) (0;1) (0 1;1 0) ( 1;0) 1.

Таким образом, число i является корнем уравнения x2 1.

Перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел.

Очевидно, (a; b) (a; 0) (0; b) (a; 0) b (0;1) a bi .

Def. Если комплексное число z (a;b) записано в виде z a bi , то такую

форму записи называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Число i называют мнимой единицей, a действительной частью числа z

(Re z a) , b мнимой частью числа z Числа вида ib называют

чисто мнимыми числами.

Def. Пусть z a bi . Числом, сопряженным z, называется число z a bi.

Операции 8.2 - 8.5 определяются для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме следующим образом:

(a bi) (c di) (a c) i(b d ) ;					(8.6)
(a bi) (c di) (a c) i(b d ) ;					(8.7)
(a bi) (c di) (ac bd ) i(ad bc) ;					(8.8)
a bi	ac bd	i	cb ad	.	(8.9)
c di	c2 d 2
			c2 d 2

Символ i для мнимой единицы предложил Л. Эйлер в 1777, взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Ему же принадлежит мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (1751), но строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Нет необходимости запоминать эти формулы. Можно заметить, что достаточно лишь раскрыть скобки и привести подобные слагаемые относительно действительных и мнимых частей. При умножении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, следует формально перемножить выражения (как двучлен на двучлен), учитывая, что i2 1 , а затем выделить действительную и мнимую части полученной суммы.

Выполнение операции деления легко формализуется, если предварительно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное с числителем. Действительно,

a bi	a bi c di	ac bd i cb ad	ac bd	i	cb ad
	c di c di					.
c di		c2 d 2	c2 d 2		c2 d 2

N. 1) 2 3i 4 i 5 2i 8 12i 2i 3i2 5 2i 8 12i 3 5 16 12i.

3 i

3 i 2 i

6 3i 2i i2

5 5i

1 i.

2 i

2 i 2 i

2 i2

Th.8.1

(свойства операции сопряжения)

1. z z R;

z z R.

2. z1 z2 z1 z2 .

3. z1 z2 z1 z2 .

(z2 0).

Доказательство.

1. z z (a bi) (a bi) 2a R.

z z (a bi) (a bi) a2 b2 abi abi a2 b2 R .

2. z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 a2 ) i(b1 b2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 ). z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 a2 ) i(b1 b2 ).

Таким образом, z1 z2 z1 z2 .

3. z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )

(a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 ).

z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 b1i) (a2 b2i) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 ).

Таким образом, z1 z2

z2 .

a1 b1i

a1 b1i a2 b2i

a2 b2i

a1a2 b1b2 i a1b2 b1a2

a1a2 b1b2

a1b2 b1a2

Рис. 8.1.

(a; b)


	z1	a1 b1i

z2		a2 b2i

a1a2 b1b2 i

a22 b22

a1 b1i		a1 b1i a2 b2i		a1a2 b1b2 i a1b2 b1a2
a2 b2i		a2 b2i a2 b2i		a22 b22

a1b2 b1a2 .

a22 b22

		z		z	.
Таким образом,		1	1

	z2		z2

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

В основе геометрической интерпретации поля комплексных чисел лежит возможность поставить каждому комплексному числу z a bi поставить в соответствие точку плоскости с координатами . Между элементами поля С

и точками плоскости с выбранной декартовой системой координат можно установить взаимно-однозначное соответствие. При этом действительные числа изображаются точками оси Ох, а чисто мнимые – точками оси Оу.

Поэтому ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью.

Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Таким образом, через z обозначают как комплексное число, так и точку плоскости, которая изображает это число.

Комплексное число z a bi рассматривают радиус-вектор точки z комплексной плоскости.

Заметим, что операции сложения и вычитания комплексных чисел хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Сложение комплексных чисел выполняется по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма). Аналогично интерпретируется и операция вычитания (рис. 8.1).

Число противоположное z a bi , будет точкой комплексной плоскости симметричной точке z относительно начала координат. Число сопряженное с числом

z изображается точкой, симметричной точке z относительно оси Ох.

Заметим, что для комплексных чисел понятия «больше», «меньше» не могут быть определены, т.к. они, в отличие от действительных чисел, расположены не на прямой, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости.

через .

Th.8.2

Если z1 , z2 – комплексные числа, то имеют место соотношения:

(8.10)

(8.11)

Доказательство.

Неравенство (8.10) вытекает непосредственно из неравенства треугольника (известной из курса элементарной геометрии), ввиду того, что имеем

треугольник (рис. 8.1) со сторонами

z1 z2

Поскольку z1 z2 z1

z2 и

, то из неравенства (8.10) вытекает

неравенство (8.11)

ЛЕКЦИЯ 9.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. ФОРМУЛА МУАВРА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть z a bi произвольное комплексное число, которое изобразим на комплексной

плоскости (рис. 9.1). Обозначим r OZ , а угол

между положительным напрвлением оси Ох и вектором OZ

Def. Число r называется модулем, а угол

аргументом		комплексного	числа	z.
Обозначают:	z	r, Arg z .		Рис. 9.1.
				Рис. 9.1.

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно (с точностью до 2 n, n Z ).

Абрахам де Муавр (26.05.1667 — 27.11.1754) - английский мате-

матик французского происхождения. Кроме правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел, исследовал степенные ряды, первый пользовался возведением в степень бесконечных рядов. В теории вероятностей доказал частный случай теоремы Лапласа .

Def. Значение Arg z из					интервала [0; 2 ) называют главным значением
аргумента и обозначают arg z. Таким образом,								Arg z arg z 2 n, n Z.
Из	прямоугольного				OAZ		(рис. 9.1)	OA a, AZ b : r2 a2 b2 ,
a r cos , b r sin . Получаем,						что z a bi r cos r sin i, т.е.
					z r cos i sin ,			(9.1)
			, cos	a	, sin	b	.
где r		a2 b2						(9.2)

				r		r

Представление комплексного числа в виде (9.1) носит название

тригонометрической формы записи комплексного числа.

N. Представьте число z 4 4 3i в тригонометрической форме.

Решение.

У нас a 4, b 4 3. z r cos i sin .

z a2 b2 16 48 8.

cos

III ÷åòâ. (ò.ê.cos 0, sin

sin

Тогда, z

i sin

8 cos

Th.9.1

Если z1 r1 cos 1

i sin 1

и z2 r2 cos 2 i sin 2 , то

z1 z2 r1r2 cos( 1

2 ) i sin( 1

2 ) ,

(9.3)

cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .

(9.4)

Доказательство.

z1 z2

r1 cos 1

i sin 1 r2

cos 2

i sin 2 r1r2 (cos 1 cos 2

sin 1 sin 2

i sin 1 cos 2

i sin 2

cos 1 ) r1r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .

r1 cos 1

i sin 1

r1 cos 1

i sin 1 r2

cos 2

i sin 2

r2 cos 2

i sin 2

r2 cos 2

i sin 2 r2

cos 2

i sin 2

r1 r2 cos1 cos2 i cos1 sin 2 i sin 1 cos2 i2 sin 1 sin 2 r22 cos2 2 sin2 2

r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2

r22

r1 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) . r2

Th.9.2 (формула Муавра)

Если z r cos i sin , то для всех n Z

zn r n cos n i sin n

(9.5)

Доказательство.

Рассмотрим

случай, когда n N. В этом

случае

формула (9.4)

непосредственно следует из формулы (9.3).

Пусть n 1.

Тогда:

r cos i sin

z 1

r cos i sin

r cos i sin r cos i sin

cos2 sin2

1r cos( ) i sin( ) r 1 cos( ) i sin( ) .

Таким образом, формула (9.4) справедлива для n 1.

z n z 1 n r 1 cos( ) i sin( ) n r 1 n cos( n ) i sin( n )r n cos( n ) i sin( n ) .

Получили, что формула (9.5) верна для всех n Z . Эта формула носит название формулы Муавра .

																			2								2											11							11
N. Даны числа									z1 2						cos								i sin						, z2		3 cos												i sin				.
N. Даны числа									z1 2						cos					3			i sin				3		, z2		3 cos									6			i sin			6	.
																				3							3													6						6
Вычислить: а)									z z				; б)			z2		;			в)		z5 .
									1		2						z1							1
																	z1
		Решение.
										2						11										2				11												15					15
а)	z1 z2		2 3				cos															i sin															6 cos							i sin
а)	z1 z2		2 3				cos						3									i sin								6							6 cos					6		i sin
													3				6									3				6												6					6
				3													3
	6 cos						2						i sin									2 6 cos													i sin								6(0 i) 6i.
	6 cos						2						i sin									2 6 cos													i sin								6(0 i) 6i.
				6													6																2						2
								11				i sin				11
		z2	3		cos																			3					11					2							11					2
			3		cos
									6							6
б)																									cos												i sin
б)		z1							2								2								cos												i sin
		z1							2			i sin					2							2					6						3						6					3
			2			cos
			2			cos
									3							3
						7								7
						7								7											3			1				3 3						3
	1,5		cos				i sin									1, 5										i										i				.
	1,5		cos				i sin									1, 5										i										i				.
						6							6											2				2							4			4
						6							6											2				2							4			4

в)	5	2
в)	z1	2	cos

i sin 4 2

	2	5			5			10				10					4
i sin				2		cos				i sin					512	cos		2
i sin	3			2		cos			3	i sin			3		512	cos		2
	3								3				3				3
			4				4
512				i sin					512		1			3	256		i256		.
											1			3
	cos																	3
	cos																	3
		3					3				2			2
		3					3				2			2

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

Def. Число u называется корнем n-ой степени из числа z C : u nz ,

если un z.

Пусть z r cos i sin и u cos i sin . По определению

cos i sin n r cos i sin .

Применив формулу Муавра, получим:

n cos n i sin n r cos i sin .

Отсюда n r, n 2 k (k Z ) или:

2 k

n r ,

Z ).

Таким образом, u

2 k

i sin

2 k

где

k Z.

r cos

При k 0,1,..., n 1

мы

получим n

различных

значений корня.

Действительно, увеличение k на единицу приводит к увеличению аргумента на 2n .

Пусть теперь k – любое, тогда его можно представить в виде

knq t, 0 t n 1. В этом случае

2 k 2 (nq t) 2 t 2 q. n n n

Это означает, что значение аргумента при нашем k отличается от аргумента при k=t на число кратное 2 , т.е. мы получаем такое же значение

корня, как и при k=t ( 0 t n 1 ). Таким образом, n z имеет ровно n значений, которые вычисляются по формуле:

nz n

где k

2 k r cos

0,1,..., n 1

i sin	2 k	,
i sin	n	,	(9.6)
	n

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf