АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

Элементы a1 1 , a2 2 ,...ak k , ak 1 k 1 , ak 2 k 2 ,..., an n расположены в разных строках и разных столбцах определителя. Найдем знак, с которым входит произведение a1 1 a2 2 ...ak k ak 1 k 1 ak 2 k 2 ...an n в определитель. Для этого определим число инверсий в перестановке 1 , 2 ,..., k , k 1 , k 2 ,..., . Все i принимают значения от 1 до k, а принимают значения от k+1 до n, поэтому

верхний левый угол. Для этого i1 строку поменяем местами со всеми

результате минор М будет расположен в первых k строках.

Далее последовательно переставляем столбцы: j1 , пока он не займет первое место, j2 , пока он не займет второе место и т.д. Имеем всего

( j1 1) ( j2 2) ... ( jk k ) ( j1 ... jk ) (1 ... k ) транспозиций столбцов.

Полученный определитель отличается от исходного множителем

( 1)(i1 ... ik ) ( j1 ... jk ) 2(1 ... k ) ( 1)(i1 ... ik ) ( j1 ... jk ) ( 1)sM . Согласно доказанному в

первом случае, произведение ( 1)sM MM состоит из слагаемых, входящих в состав определителя.

Th.4.1 (теорема Лапласа)

Сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках, на соответствующие им алгебраические дополнения равно определителю.

Доказательство.

( 1)sM MM – суммa нескольких слагаемых определителя. Пересчитаем

число всех таких слагаемых в произведении всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках.

Число слагаемых в миноре k-го порядка равно k ! , число слагаемых в его

21

определителю.

Теоремы 4.2 и 4.3 являются следствиями теоремы Лапласа.

Th.4.2 (разложение определителя по строке или столбцу) Определитель равен сумме произведений элементов какойлибо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

Формула 4.1 называется разложением определителя по элементам строки, а формула 4.2 – разложением определителя по элементам столбца.

Доказательство.

Для доказательства достаточно разложить определитель по теореме Лапласа, выбирая миноры n-го порядка в первых n строках.

Вычисление определителей

Сформулированные свойства определителей порождают методы их вычисления.

1.Метод Гаусса.

Этот метод заключается в том, что сначала определитель приводят к верхнетреугольному виду, а затем применяют теорему об определителе верхнетреугольной матрицы.

Пьер-Симон Лаплас (23.03.1749 — 5.03.1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики громадны: он усовершенствовал почти все разделы этих наук.

22

7 1 ( 1) 5 2 70.

2. На основании теоремы Лапласа.

Теорема Лапласа (о разложении определителя по строке или столбцу) позволяет свести вычисление n-го порядка к вычислению нескольких определителей порядка (n 1) (алгебраических дополнений). Особенно

удобно использовать разложение по тем строкам (или столбцам), в которых есть нулевые элементы.

23

Значит, 2 0 3 ( 20) 1 10 0 70.

3. Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Пусть дан определитель определенной структуры. Если удается выразить его через определитель такой же структуры, но меньшего порядка, то говорят, что получено рекуррентное соотношение ( n F ( n 1 ) ).

Разложим определитель по элементам первого столбца:

24

Стоящий в правой части определитель также является определителем Вандермонда порядка n 1 , т.е.:

Правило Крамера.

Теория определителей имеет широкое применение в теории систем линейных уравнений.

Lemma Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Доказательство.

Габриэль Крамер (31.07.1704 — 4.01.1752) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Заложил основы теории определителей. Ему принадлежат также исследования по теории алгебраических кривых высших порядков.

25

только k-ым столбцом, то они будут и алгебраическими дополнениями элементов k-го столбца и в определителе . Таким образом.

a1i A1k a2i A2k ... ani Ank 0 ( i 1, n, k i) .

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

из главного определителя СЛУ путем замены его первого столбца столбцом

26

Формулы (4.6) называются формулами Крамера.

2)Если 0 , а хотя бы один из xi 0 , то СЛУ (4.3) несовместна.

3)Если xi 0 i 1, n , то СЛУ (3.9) неопределенна или несовместна.

ЛЕКЦИЯ 5.

МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.

Линейные преобразования и матрицы

Понятие матрицы было использовано нами в качестве вспомогательного инструмента при изучении систем линейных уравнений. Другие многочисленные применения сделали его предметом самостоятельной теории.

Матрицы связаны естественным образом с линейным преобразованием переменных. Под линейным преобразованием переменных будем понимать

27

Def. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами, которые называются элементами матрицы.

Используется также запись A (aij ) . Напомним, что первый индекс

нумерует строки, а второй – столбцы.

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы соответствующими строчными буквами с индексами.

Количество строк и столбцов определяет размер матрицы (об этом уже шла речь в лекции 1)

Def. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой (или вектор-строкой). Матрица, содержащая один столбец, называется матрицейстолбцом (или вектор-столбцом).

Def. Если все элементы матрицы равны 0, то такая матрица называется

нулевой.

Def. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, то матрица называется диагональной.

Def. Диагональные матрицы, все элементы главной диагонали которых равны между собой, называют скалярными матрицами.

Def. Скалярная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей.

28

Свойства линейных операций над матрицами.

1.A B B A (коммутативность сложения);

2.( A B) C A (B C) (ассоциативность сложения);

3.A 0 A , где 0 – нулевая матрица соответствующей размерности;

4.A ( A) 0 ;

5.1 A A ;

6.( ) A ( A) (ассоциативность умножения на число);

29

Нелинейные операции над матрицами

Заметим, что произведение строки и столбца определено, если они имеют одинаковую длину.

Def. Матрицы называют согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Для согласованных матриц определяют их произведение.

матрицы-произведения. Для этого перемножаются 1-я строка первого множителя на 2-й столбец второго множителя.

Свойства произведения матриц:

1.AB BA (произведение матриц не коммутативно);

2.( AB)C A(BC) (ассоциативность произведения матриц);

3.A(B C) AB AC (дистрибутивность произведения матриц);

4.( A B)C AC BC (дистрибутивность произведения матриц);

5.( A)B ( AB) A( B) ;

30