Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

перемещается из точки 0; 0; 0

Таким образом, эллипти-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

с действительной полуосью c и мнимой полуосью b.

Def. Числа a, b, c называют полуосями двухполостного гиперболоида.

Def. Если в гипербодоиде (18.6) в сечении плоскостями z h (h c)

получаются окружности, то его называют двухполостным гиперболоидом

вращения.

Эллиптический параболоид

Def. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

	x2		y2	2z ( pq 0)	(18.8)
	p		q


Исследуем форму эллиптического параболоида.
1. Из уравнения (18.8) видно,		что		координатные плоскости	Oxz и Oyz

являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а ось Oz –

его осью симметрии. При p, q 0 эллиптический параболоид расположен в
полупространстве z 0,	а при p, q 0 – в полупространстве	z 0.
2. Исследуем форму	эллиптическогопараболоида при	p, q 0 по его

сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Уравнениями линии пересечения эллиптического параболоида с плоскостью Oxy будут

z 0,
			y2
x2			y2	0.

	p		q
	p		q
Это уравнение определяет точку 0; 0; 0					– начало координат.
Уравнения линий пересечения			данного параболоида			с плоскостями
z h (h 0), параллельными координатной плоскости Oxy,						имеют вид
z h,
		2		2		(18.9)
x		2		2
				y	1.
				y
	2 ph			2qh



Это эллипсы с полуосями 2 ph			и		2qh. Причем при возрастании h

полуоси эллипса неограниченно возрастают.

3. Линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью Oxz будет парабола

121

	y 0,							(18.10)
								(18.10)
	x2		2 pz.
Аналогично линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с
плоскостью Oyz - парабола
		x 0,						(18.11)
								(18.11)
		y2 2qz.
Плоскость y h пересекает		данный			параболоид по			линии, которая
задается уравнением
y h,
		2		h2
x		2	2z	h2
			2z	q

p
или
y h,
						h2		(18.12)
		2				h2		(18.12)
x			2 p z				.
x			2 p z				.
						2q

Уравнение (18.12) задает параболу. Эта парабола получается из параболы (18.10) с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы

ческий параболоид (18.8) может быть образован путем параллельного переноса параболы (18.10), при котором ее вершина движется по параболе (18.11).

Аналогичными рассуждениями	устанавливаем, что плоскость x h
пересекает эллиптический параболоид по параболе
x h,
		h	2

y2 2q z				,

		2 p

которая	представляет			собой	результат
параллельного переноса параболы (18.11), при
котором	ее вершина	перемещается			из точки
0; 0; 0		h2
	в точку 0; h;		.	Значит, параболоид

		2 p

(18.8) может быть образован также путем
параллельного переноса параболы (18.11), при
котором ее вершина движется по параболе
(18.10). Эллиптический параболоид изображен
на рис. 18.4.	Рис. 18.4
	Рис. 18.4

122

Гиперболический параболоид

Def. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

x2	y2	2z	( pq 0)	(18.13)
p	q	2z	( pq 0)	(18.13)
p	q

Исследуем форму гиперболического параболоида.

1. Из уравнения (18.13) видно, что координатные плоскости Oxz и Oyz

являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а ось Oz – его осью симметрии.

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при p, q 0 по его

сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Линией пересечения гиперболического параболоида с плоскостью Oxz будет парабола

	y 0,

	x2			2 pz,
а с плоскостью Oyz - парабола
	x 0,

	y2			2qz.
Плоскости x h пересекают					гиперболический
параболам
x h,
		y2				h2
		y2			2z	h2

		q				p


или
x h,
							h2
	2						h2
y			2q z					.
y			2q z					.
							2 p

(18.14

(18.15)

параболоид по

(18.16)

Эти параболы представляют собой результат паарллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина перемещается из точки 0; 0; 0 в

точки	h; 0;	h2		Т.е. гиперболический параболоид может быть образован
			.

		2 p

путем параллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина движется по параболе (18.14).

123

Линия пересечения

гиперболического

параболоида

с плоскостью

Oxy

задается уравнением

z 0,

или

z 0,

(18.17)

Уравнение (18.17) задает пару пересекающихся прямых.

Линии персечения гиперболического параболоида с плоскостями

z h

представляют собой при h 0 гиперболу

z h,

2 ph

2qh

действительной

полуосью

2 ph

мнимой полуосью

при

h 0

2qh,

гиперболу

z h,

Рис. 18.5

2 ph

2qh

с действительной полуосью

2qh и мнимой полуосью

2 ph.

Гиперболический параболоид изображен на рис. 18.5.

			Цилиндрические поверхности
Def.	Цилиндрической			поверхностью
(цилиндром)			называется	поверхность,
образованная движением прямой, которая
пересекает			кривую K и	параллельна
данному вектору (рис. 18.6).
Def. Прямая, которая своим движением
образует		цилиндрическую		поверхность	Рис. 18.6
называется образующей, а кривая K –					Рис. 18.6
называется образующей, а кривая K –

направляющей цилиндра.

124

Th. 18.1	Если образующая цилиндра параллельна оси	Oz, то его
	уравнение имеет вид F (x; y) 0, где F (x; y) 0	– уравнение
	направляющей в плоскости Oxy.

Доказательство.
Пусть	M (x ; y ; z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности и

K ее направляющая в плоскости Oxy с уравнением F (x; y) 0 . Через точку M проведем образующую и обозначим через N точку ее пересечения с направляющей K (рис. 18.6). Очевидно, что в плоскости Oxy точка N имеет координаты N (x ; y ) и F (x ; y ) 0. Тогда координаты точки M (x ; y ; z ) удовлетворяют уравнению F (x; y) 0 .

Следствия.

1.Если образующая цилиндра параллельна оси Ox, то его уравнение имеет вид F ( y; z) 0, где F ( y; z) 0 – уравнение направляющей в плоскости Oyz.

2.Если образующая цилиндра параллельна оси Oy, то его уравнение имеет вид F (x; z) 0, где F (x; z) 0 – уравнение направляющей в плоскости Oxz.

Def. Цилиндрами второго порядка называются цилиндрические поверхности, направляющие которых являются кривыми второго порядка.

Среди всех цилиндров второго порядка выделим те, обрающие которых параллельны оси Oz. Согласно теореме 18.1. их уравнения не содержат аппликаты. Их изображения приведены на рис. 18.7 – 18.9.

Эллиптический цилиндр				Параболический цилиндр
	x2	y2	1	y2 2 px
	a2	b2

Рис. 18.7

Рис. 18.8

125

Гиперболический цилиндр

x2	y2	1
a2	b2

				Рис. 18.9
		Конические поверхности
Def. Конической поверхностью (конусом)
называется поверхность, образованная прямыми,
проходящими	через	данную			точку		P и
пересекающими данную линию K (P K)							(рис.
18.10). Эти прямые называются образующими
конуса, точка P – вершиной конуса, а кривая К –
направляющей конуса.
Def. Конусом второго порядка называется
поверхность, которая в некоторой прямоугольной
декартовой	системе	координат				задается		Рис. 18.10
уравнением
			x2		y2	z2	0.	(18.18)
			a2		b2	c2	0.	(18.18)
			a2		b2	c2

Покажем, что если точка M (отличная от начала координат) лежит на

конусе второго порядка, то все точки прямой		OM ( O – начало координат)


также лежит на конусе. Пусть M (x ; y ; z ), OM x ; y ; z – направляющий
вектор прямой OM . Согласно (15.2)	координаты произвольной точки N
удовлетворяют соотношениям
x x t, y y t, z z t, t R.
Очевидно, что координаты точки	N удовлетворяют уравнению (18.18),

т.е. точка N лежит на поверхности конуса. Что и требовалось доказать.

126

Исследуем форму эллипса по его сечениям координатными плоскостями и плоскостями параллельными им.

1. Линия пересечения конуса уравнением

второго

порядка

плоскостью Oxz задается

y 0,

(18.19)

c a

Уравнение (18.19) задает пару пересекающихся прямых.

Аналогично можно установить, что плоскость Oyz пересекает конус второго порядка также по двум пересекающимся прямым.

2. Уравнения линий пересечения конуса второго порядка с плоскостями z h имеют вид

z h,

или

z h,

(18.20)

a2 h2

b2 h2

Уравнение

(18.20) задает эллипс

полуосями

причем с возрастанием

значение

Рис. 18.11

полуосей увеличивается. Изображение конуса

второго порядка представлено на рис. 18.11.

Def.

Если в уравнении (18.18) a b,

то сечения конуса второго порядка

плоскостями z h – окружности. Такой конус называется круглым.

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Некоторые из рассмотренных поверхностей второго порядка можно образовать движением одной прямой. Это очевидно для цилиндра и конуса. Оказывается, что однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид также являются поверхностями, состоящими из прямолинейных образующих.

Рассмотрим однополостной гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением

127

Перепишем его в виде

или

z x

c a

Рассмотрим прямую

(18.21)

(18.22)

(18.23)

Если координаты некоторой точки A(x; y; z) удовлетворяют уравнениям

(18.23), то ее координаты очевидно удовлетворяют и (18.22). Значит, соотношение (18.23) задает семейство прямых, лежащих на однополостном гиперболоиде.

Покажем теперь, что через любую точку однополостного гиперболоида

проходит некоторая

прямая

семейства

(18.23).

Пусть

точка

M (x ; y ; z )

принадлежит однополостному гиперболоиду, тогда

x 2

z 2

y 2

(18.24)

Выберем и так, чтобы

(18.25)

Докажем, что

т.е.

что

точка

M (x ; y ; z ),

принадлежащая однополостному гиперболоиду, принадлежит также прямой, определяемой уравнениями (18.23). Пусть

x	z		y
		1		.	(18.26)

a	c		b

x 2

z 2

y 2

Из (18.25) и (18.26) следует, что

, что

противоречит соотношению (18.23).

Def. Прямые (18.22) называют прямолинейными образующими

однополостного гиперболоида (рис. 18.11).

128

Рассмотрим теперь гиперболический параболоид, каноническим уравнением

2z.

Переписав это уравнение в виде

2z,

заметим, что любая прямая, определяемая уравнениями

2 ,

(18.27)

или

2 ,

при любых, не равных одновременно нулю

значениях и

целиком располагаются

на гиперболическом параболоиде (рис. 18.12). Def. Прямые (18.27) и (18.28) называются

прямолинейными образующими

гиперболического параболоида.

заданный своим

Рис. 18.11

(18.28)

Рис. 18.12

Идея использования линейчатого характера однополостного гиперболоида в строительной технике принадлежит русскому инженеру В.Г. Шухову (1853—1939). Роль прямолинейных образующих играют железобетонные или металлические балки. Такие конструкции оказались легкими и прочными, поскольку каждая образующая в нескольких местах соединена с другими образующими. В 1920-1922 гг. в

г. Москва по проекту В. Г. Шухова была построена радиовышка на Шаболовке высотой около 150 м. Башня получила признание как одно из самых красивых и выдающихся достижений инженерной мысли в мире.

129

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Артамонов В.А. Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию / В.А. Артамонов. – М.: Факториал Пресс, 2007. – 128 с.

2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учеб. для ВУЗов / Д.В. Беклемишев. – М.: ФИЗМАТЛИТ,

2005. – 304 с.

3.Винберг Э.Б. Курс алгебры / Э.Б. Винберг. – М.: Факториал Пресс,

2001. – 544 с.

4.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М. Гельфанд. – М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. – 320 с.

5.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения / Л.И.Головина. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1975. – 408 с.

6.Дураков Б.К. Краткий курс высшей алгебры / Б.К. Дураков. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 232 с.

7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов.

–М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,

1972. – 272 с.

8.Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с.

9.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320с.

10.Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. – М.: Наука, 1975. – 432 с.

11.Погорелов А.В. Лекции по аналитической геометрии / А.В. Погорелов.

–Харьков: Изд-во ХГУ им. А.М. Горького, 1963. – 182 с.

12.Рублев А.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии / А.Н. Рублев. – М.: Высшая школа, 1972. – 424 с.

13.Рудавський Ю.К. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: навч.

підручник/ Ю.К. Рудавський, П.П. Костробій, Х.П. Лунник, Д.В. Уханська. – Львів: Видавництво «Бескид Біт», 2022. – 262 с.

14. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фадеев. – М..: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 416 с.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf