Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Если задан эллипс своим каноническим уравнением

1 (a b)

фокусами на оси Ox

(т.е.

a b ),

то его директрисами будут прямые x

. Поскольку

для

эллипса

e 1, то

a. Значит,

директрисы не

пересекают эллипс (рис. 17.1).

Аналогично определяется директриса гиперболы.

Def. Прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и

расположенные на расстоянии	a	от его центра, называются директрисами
расположенные на расстоянии	e	от его центра, называются директрисами
	e
гиперболы.
Для гиперболы e 1, значит,			a	a. Следовательно, директрисы не
Для гиперболы e 1, значит,			e	a. Следовательно, директрисы не
			e

пересекают гиперболу. Для гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, директрисы изображены на рис. 17.2.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Th. 17.1

Пусть r - длина фокального радиуса точки эллипса (гиперболы),

а d

- расстояние от этой точки до соответствующей директрисы,

тогда

(17.1)

Доказательство.

Проведем доказательство теоремы для эллипса.

Пусть

M (x; y)

текущая точка

эллипса.

Согласно (16.8) и (16.9)

r a ex, r a ex. Очевидно, что

x, d

x (рис. 17.3).

111

a ex

Что

e x

требовалось

доказать.

Аналогично

проводится доказательство для правой и

левой ветвей гиперболы .

Рис. 17.3

Парабола

Def. Параболой называется геометрическое место

точек плоскости, каждая из которых равноудалена

от

данной

точки

(фокуса)

данной прямой

(директрисы параболы).

Пусть расстояние от фокуса параболы до ее

директрисы равно

p. Выберем декартову прямо-

угольную систему

координат

на плоскости так,

Рис. 17. 4

чтобы ось Oy была параллельна директрисе d

и фокус был расположен в точке

; 0

(рис. 17.4). Пусть

M (x; y)

- текущая

точка параболы.

Согласно определению параболы MF (M ; d ).

MF
MF	x

p 2	y2 ,						p
p 2		(M ; d )			x		p	. Таким образом,
		(M ; d )			x			. Таким образом,
							2
2							2

					p	2			2				p
					p	2			2				p
			x				y				x
			x		2		y				x		2
					2								2
										2
			x	p		2				2				p	2

							y2					x


													2
				2									2

x2 px	p2	y2 x2	px	p2

4			4
		y2 2 px	(17.2)

Уравнение (17.2) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем форму параболы, заданной уравнением (17.2).

1.Из (17.2) вытекает, что x 0. Значит парабола расположена в правой полуплоскости.

2.Если точка (x; y) принадлежит параболе, то ей принадлежит и точка

(x; y). Следовательно, имеет место симметрия относительно оси абсцисс.

112

3. Очевидно, что парабола проходит через точку O(0; 0). Можно показать, что парабола в этой точке

касается оси Oy. Точку O(0; 0) называют

вершиной параболы.
4. Если x , то		y	.

Таким образом,	парабола, заданная уравнением

(17.2), имеет вид, изображенный на рис. 17.4.	Рис. 17.4
(17.2), имеет вид, изображенный на рис. 17.4.
Замечание.

Если фокус параболы лежит на оси Oy, а директриса параллельна оси

ординат (при этом фокус и директриса равноудалены от оси абсцисс), то ее уравнение имеет вид:

x2 2 py

(17.3)

Очевидно, что кривая, определяемая уравнением 17.3 задает кривую, изображенную на рис. 17.5.

Уравнения y2 2 px, x2 2 py ( p 0) также задают параболы, котрые изображены на рис. 17.6 и 17.7

Рис. 17.5				Рис. 17.6	Рис. 17.7
Кривые второго порядка с осями симметрии параллельными
			координатным осям
Найдем		сначала	уравнение
эллипса	с	центром	в	точке
O1 (x0 ; y0 ),	оси симметрии которого
параллельны		координатным		осям
Ox и Oy	и полуоси соответсвтенно
равны a и b. Выберем новую
систему координат с началом в
точке O1 (x0 ; y0 ) и осями Ox				и Oy	Рис. 17.8

параллельными соотвестветственно

осям Ox и Oy и одинаково с ними направленными (рис. 17.8). В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

113

		x2	y2	1.
		a2	b2

Но т.к. x x x0 и	y y y0 (известные из школьного курса формулы

связи старых и новых координат при параллельном переносе), то в старой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

x x0	2	y y0	2	(17.4)
a2		b2	1	(17.4)
a2		b2

Рис. 17.9

И, наконец, параболы, соответствующие уравнения:

Рассуждая	аналогично, получаем
уравнение гиперболы с центром в
точке O1 (x0 ; y0 ), действительной
полуосью	a и мнимой полуосью
b :

	x x0 2		y y0		2	(17.5)
	a2			b2	1

изображенные на		рис.		17.8-17.11		имеют

Рис. 17.8

Рис. 17.9

Рис. 17.10

Рис. 17.11

114

ЛЕКЦИЯ 18.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Def. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, определяемое в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением второй степени:

a11x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz a1x a2 y a3 z a4 0. (18.1)

После применения движения и, возможно, умножения уравнения на ненулевой коэффициент, уравнение поверхности в трехмерном пространстве приводится к одному из следующих видов:

1 (эллипсоид)

1 (мнимый эллипсоид)

1 (однополостной гиперболоид)

1 (двуполостной гиперболоид)

0 (конус)

0 (мнимый конус)

( p, q 0) (эллиптический параболоид)

( p, q 0) (гиперболический параболоид)

1 (эллиптический цилиндр)

10.x2 y2 1 (мнимый цилиндр) a2 b2

11.	x2		y2	1 (гиперболический цилиндр)
	a2		b2

12. y2		2 px (параболический цилиндр)

115

13.x2 y2 0 (пара пересекающихся плоскостей) a2 b2

14.x2 y2 0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей) a2 b2

15.y2 b2 (пара параллельных плоскостей)

16.y2 b2 0 (пара мнимых параллельны плоскостей)

17.y2 0 (пара совпадающих плоскостей)

Эллипсоид

Def. Эллипсоидом назывется поверхность, каноническое уравнение которой

имеет вид:

(18.2)

Исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями.

1. Очевидно,

что

эллипсоид

пересекает

оси

координат в точках

a; 0; 0 , 0; b; 0 , 0; 0; c .

Из уравнения (18.2) следует,

что

b и

т.е. эллипсоид

представляет

собой

поверхность,

заключенную

в параллелепипеде

c. Координатные

плоскости

являются

плоскостями

симметрии, координатные оси – осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.

2. Рассмотрим сечение данного эллипсоида плоскостью Oxy. Уравнение линии пересения имеет вид:

z 0,
		y2
x	2
				1.
	2	b	2
a

Данная линия представляет собой эллипс с полуосями a и b. Аналогично устанавливаем, что пересечением эллипсоида плоскостью

Oxz будет эллипс

y 0,
		z2
x	2			1

	2	c	2
a

с полуосями a и c, а плоскостью Oyz эллипс

116

x 0,

с полуосями b и c.

3. Рассмотрим теперь линию

пересечения эллипсоида с плоскостью

z h (h 0), параллельной плоскости

Oxy. Уравнение этой линии имеет

вид:

z h,

или

z h,

(18.3)

a 1

b 1

При

уравнение

(18.3)

задает

эллипс

полуосями

a 1

b 1

. При

c эллипсоид и эллипс не имеет общих точек. При

эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс). Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями Oxz

и Oyz, также получаются эллипсы.
Таким	образом,		эллипсоид
представляет	собой		ограниченную
поверхность,	линиями		пересечения
которой	с	координатными
плоскостями		и	плоскостями,
параллельными им, являются эллипсы
(рис. 18.1).
Def. Числа		a, b, c	называются
полуосями эллипсоида. Если все они
различны, эллипсоид			называется
трехосным.		Если	a b c,	Рис. 18.1

эллипсоид превращается в сферу.

117

Однополостной гиперболоид

Def. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

x	2	y2		z	2	1	(18.4)
	2				2
a		b	2	c

Исследуем форму однополостного гиперболоида по той же схеме, по которой исследовали форму эллипсоида.

1. Из уравнения (18.4) следует, что оси коодинат являются осями симметрии однополостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось Ox поверхность пересекает в точках с координатами a; 0; 0 , ось Oy в точках с

координатами 0; b; 0 , точек пересечения с осью Oz нет.

2. Линия пересечения однополостного гиперболоида с плоскостью Oxy имеет уравнение:

z 0,

x2 y2 1.

a2 b2

Данная линия представляет собой эллипс с полуосями a и b.

3. Рассмотрим пересечение однополостного гиперболоида и плоскости z h. Линия пересечения задается уравнением

z h,
		y2			h2
x	2			1
							,
	2	b	2		c	2
a

или

z h,

(18.5)

a 1

b 1

т.е представляет собой эллипс с полуосями a 1

и b 1

. Заметим,

что полуоси неограниченно

увеличиваются

увеличением

. Таким

образом, гиперболоид (18.4) представляет собой поверхность, подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси Oz.

118

4. Линией

пересечения

однополостного

гиперболоида с плоскостью Oxz

будет гипебола

y 0,

с действительной полуосью a и мнимой

полуосью

линией

пересечения

гиперболоида с плоскостью Oyz также является

гипербола

x 0,

с действительной полуосью b и				мнимой
полуосью c.
Таким образом, однополостной гиперболоид
(18.4) имеет вид, изображенный на рис. 18.2.
Def. Если линиями пересечения однополостного					Рис. 18.2
гиперболоида	(18.4)	с	плоскостями	z h	Рис. 18.2
гиперболоида	(18.4)	с	плоскостями	z h
являются не	эллипсы,	а	окружности,	то он

называется однополостным гиперболоидом вращения.

Def. Числа a, b, c называют полуосями однополостного гиперболоида.

Двухполостной гиперболоид

Def. Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

x2	y2	z2	1	(18.6)
a2	b2	c2

Исследуем форму двухполостного гиперболоида.

1. Из уравнения (18.6) следует, что оси коодинат являются осями симметрии двухполостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось Oz поверхность пересекает в точках с координатами 0; 0; c , точек пересечения с осями Ox

и Oy нет.

2. В сечении двухполостного гиперболоида плоскостью Oxy имеем мнимый эллипс:

119

z 0,

x2 y2 1.

a2 b2

В сечении данного гиперболоида плоскостями z h получаем линию, задаваемую уравнением

z h,
		y2		h2
x	2
						1,
	2	b	2	c	2
a

или

z h,

(18.7)

Уравнение (18.7) при

задает

эллипс

полуосями a

1, который при

вырождается в точку (точки пересечения с

осью

Oz ). При

песечение

двухполостного

гиперболоида

(18.6)

плоскости z h пусто.

Это значит, что в пространстве между плоскостями z c не содержится

точек рассматриваемой поверхности, эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рис. 18.3.

3. Линия пересечения исследуемой поверхности и плоскости Oxz задается уравнением

y 0,
		z2
x	2			1.

	2	c	2
a

Это	гипербола					с	действительной
полуосью c	и мнимой полуосью a.
Аналогично			линией					пересечения
двухполостного гиперболоида								и плоскости
Oyz является гипербола
	x 0,
				z2
	y2			z2		1

		2		c	2
	b			c				Рис. 18.3
								Рис. 18.3

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf