Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 14.


		ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
		Уравнение плоскости в пространстве
Уравнению первой степени				ax by c 0		(a2 b2 0)	на координатной
плоскости соответствует в координатном простанстве уравнение

		ax by cz d 0			(a2 b2 c2 0)			(14.1)

Th. 14.1	Каждое уравнение			вида	(14.1)	определяет	в	пространстве
	плоскость		наоборот,		любая	плоскость	в	координатном
	пространстве может быть задана уравнением (14.1)

Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство соответсвующего утверждения для прямой на плоскости (проведите его самостоятельно, используя рис. 14.1).

	Рис. 14.1	Рис. 14.2
	Уравнение (14.1) называется общим уравнением	плоскости, вектор
	a;b; c – нормальным вектором плоскости.
n	a;b; c – нормальным вектором плоскости.

Если плоскость проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору n a;b; c (рис. 14.1), то ее уравнение можно записать в виде:

a(x x0 ) b( y y0 ) c(z z0 ) 0 (a2

b2 c2 0)

(14.2)

Плоскость

однозначно определяется точкой

M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) и двумя

a1; a2 ; a3

b1;b2 ;b3

векторами

( a, b

неколлинеарны).

Векторы a и b

называются направляющими векторами плоскости. Пусть

M (x; y; z) – текущая точка плоскости ,

r0 радиус вектор точки M 0 , r

радиус-вектор точки M (рис. 14.2).

M тогда и только тогда, когда векторы

a, b è M 0 M компланарны.

А поскольку

a, b неколлинеарны, то

M 0 M

можно разложить по этим

векторам, т.е. имеет место равенство:

M 0 M ua vb, u, v R.

Учитывая, что

M 0 M r r0 , получаем:

r r0

ua vb,

u, v R.

(14.3)

Уравнение (14.3) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к.

x; y; z ,

x0 ; y0 ; z0 ,

a1; a2 ; a3 ,

b1;b2 ;b3 ,

тоуравнение

(14.3) в координатной форме принимает вид:

x x0 ua1 vb1 ,

ua2

vb2 ,

(14.4)

vb .

Уравнения (14.4) называются параметрическими уравнениями

плоскости.

Условие компланарности векторов

a, b è M 0 M можно выразить через

смешанное произведение этих векторов: a b M 0 M 0 , или в координатной форме:

x x0

y y0

z z0

(14.5)

Уравнение

(14.5) – уравнение плоскости,

проходящей

через

точку

заданными направляющими

векторами

a1; a2 ; a3 и

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

b1;b2 ;b3 .

Плоскость

однозначно

определяется

тремя точками

M1 (x1 ; y1 ; z1 ),

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ),

M3 (x3 ; y3 ; z3 ) не лежащими на одной прямой. В этом случае

x2 x1; y2 y1; z2 z1

x3 x1 ; y3 y1 ; z3 z1

–

M2 M1

M3 M1

направляющие векторы плоскости ,

M1 .

Тогда из уравнения (14.5)

получаем:

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

(14.6)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Уравнение (14.6) носит название уравнения плоскости, проходящей через три точки.

Пусть, в частности, известны точки, в которых

плоскость

пересекает

оси

координат:

A( A; 0; 0), B(0; B; 0), C(0; 0; C),

где

( A, B, C 0)

(рис. 14.3) Тогда из уравнения (14.6) имеем:

x A

Рис. 14.3

После раскрытия определителя получаем:

BCx ACy ABz ABC

: ABC

(14.7)

Уравнение (14.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Рассмотрим	плоскости	: a1 x b1 y c1 z d1 0	и
: a2 x b2 y c2 z d2	0. Их взаимное расположение характеризуется углом

между ними. Этот угол однозначно определяется углом между нормальными векторами этих плоскостей n a1 ;b1 ; c1 и n a2 ;b2 ; c2 . Обозначим черезугол между нормальными векторами. Тогда:


cos		n1	n2			a1a2 b1b2		c1c2			.	(14.8)
cos											.	(14.8)
	n			n	a2	b2	c2	a2	b2	c2
	1			2	1	1	1	2	2	2

Замечание. Обратим внимание, что угол между плоскостями не обязательно равен , он может быть равен и (рис. 14.4-14.5).

Рис. 14.4

Рис. 14.5

Таким образом, формула (14.8) определяет значение косинуса угла между

плоскостями	с	точностью до знака. Косинус острого угла	между
плоскостями		и может быть найден по формуле:

cos

n1 n2

a a b b c c

(14.9)

a2 b2

Заметим, что

n n

a1a2 b1b2

c1c2

b2 c2

Расстояние от точки до плоскости

Пусть в

пространстве

задана

плоскость

: ax by cz d 0

точка

M 0 (x0 ; y0 ; z0 ).

Найдем расстояние от точки M 0

до плоскости

. Очевидно, что какова бы ни была точка

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) плоскости

(рис.

14.6),

справедливо соотношение:

M1M0 n

где

Рис. 14.6

npn M1M

n(a;b; c) .

x0 x1; y0 y1; z0 z1 .

Поскольку M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ,

то

M1M0

ax1 by1 cz1 d 0

d ax1 by1

cz1. Тогда:

a(x0 x1 ) b( y0 y1 )

c(z0 z1 )

ax0 by0 cz0 ( ax1 by1 cz1 )

a2 b2 c2

Таким образом, имеем:

d	ax0	by0	cz0	d	.	(14.10)
		a2 b2 c2

Замечание. Если нормальный вектор плоскости n отложен от некоторой точки прямой, то для всех точек M 0 , которые лежат в одной полуплоскости с

концом вектора n d npn M1M0 , а для всех точек, лежащий в другой полуплоскости, d npn M1M 0 . Таким образом, для точек, лежащих в одной

из полуплоскостей, на которые разбивает координатную плоскость прямая, ax by cz d 0, а для точек другой полуплоскости ax by cz d 0.

N.	Две		грани		куба		лежат	в	плоскостях : 2x y z 4 0	и
: 2x y z 3 0. Найти объем куба.
Решение.
Т.к.	2		1	1	4	,	то	.	Значит, в условии речь идет	о
				1
	2	1			3

противоположных гранях куба. Ребро куба a равно расстоянию между этими плоскостями. Для его нахождения выберем произвольную точку плоскостии вычислим расстояние от нее до плоскости .

Пусть точка A(0; 0; z) . Значит, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости .

0 0 z 4 0 z 4 A(0; 0; 4).
Найдем расстояние от точки A до плоскости по формуле (14.10).
d	2 0 0 4 3					7	. Таким образом, a	7	и V	343	.
	2 0 0 4 3					7		7		343

		22 12 ( 1)2				6		6	6 6
Ответ. V			343		.


6				6

Пучок плоскостей

Def. Пучком плоскостей называют множество всех плоскостей, которые проходят через одну прямую l , которую называют осью пучка.

Th. 14.2	Если заданы две	плоскости 1 : a1 x b1 y c1 z d1	0 и
	2 : a2 x b2 y c2 z d2	0, то уравнение пучка имеет вид:
	a1 x b1 y c1 z d1 m a2 x b2 y c2 z d2 0.		(14.11)
	Причем это уравнение содержит уравнения всех плоскостей
	пучка, кроме 2 .

Доказательство.

1)Докажем, что уравнение (14.11) задает плоскость пучка. Для любого

m R уравнение (14.11)		является	уравнением первой		степени, а значит,
задает плоскость.
Если	M 0 (x0 ; y0 ; z0 )	– произвольная		точка	оси пучка,	то
a1 x0 b1 y0	c1 z0 d1 0 и	a2 x0 b2 y0	c2 z0 d2	0. Значит, координаты		M 0

удовлетворяют уравнению (14.11). Таким образом, плоскость, задаваемая уравнением (14.11), принадлежит пучку.

2) Докажем, что в уравнении (14.11) всегда можно подобрать значение параметра m так, чтобы плоскость, определяемая этим уравнением, проходила через заданную точку M1 (x1 ; y1 ), т.е выполнялось соотношение:

a1 x1 b1 y1 c1 z1 d1 m a2 x1 b2 y1 c2 z1 d2 0.

Если M1 2 , то

a2 x1 b2 y1

c2 z1

d2 0

и значение m однозначно

определяется по формуле: m

a1 x1 b1 y1

c1 z1

Если же, M1 2 , но

a x b y

c z

M1 1 , то m . Таким образом, уравнение (14.11) не содержит уравнения плоскости 2 .

N. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей x y z 0 и x y z 1 0 и точку M (1;1 1).

Решение.

Искомая плоскость – плоскость пучка, задаваемого уравнением x y z m(x y z 1) 0.

Отсюда

x(m 1) y(1 m) z(m 1) m 0.

Поскольку точка M (1;1 1) принадлежит этой плоскости, то m 1 1 m (m 1) m 0.

Откуда m 3 2 . Подставляя значение m в уравнение пучка, получаем

уравнение искомой плоскости: 5x y z 3 0.

Ответ. 5x y z 3 0.

ЛЕКЦИЯ 15.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение прямой в пространстве

Положение

прямой l

в пространстве

однозначно

определяется

точкой

и вектором

m; n; p

M0 (x0 ; y0 ; z0 ) l

который

называется

направляющим

вектором прямой l. Пусть

r0 радиус-

Рис. 15.1

вектор

точки

M 0 ,

r радиус-вектор

текущей точки

прямой

M (x; y; z) (рис.

15.1).

M l

тогда

и только тогда, когда

r r 0 M 0 M s , т.е.

r r0

t s

(t R)

или:


r r0 t s	(t R)	(15.1)

Уравнение (15.1) называется векторным уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (15.1) записывается в виде:

x x0 mt,
	nt,	(t R).
y y0	nt,	(t R).	(15.2)
	pt,
z z0	pt,

Уравнения (15.2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Условие M 0 M s можно записать в координатной форме:

x x0	y y0	z z0	.	(15.3)
m	n		.	(15.3)
m	n	p

Уравнения (15.3) называют еще каноническими уравнениями прямой. Замечание. Если mnp 0, то уравнения (15.3) надо понимать в смысле (15.2)

Прямая l также однозначно определяется двумя точками M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) (рис. 15.2).

В этом случае в качестве направляющего

вектора можно взять вектор

Рис. 15.2

x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

M1M2

Тогда уравнения (15.2) принимают вид:

x x1

y y1

z z1

(15.4)

Уравнения (15.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения плоскостей. Пусть плоскости 1 и 2 заданы соответственно уравнениями

a1 x b1 y c1 z d1 0 и a2 x b2 y c2 z d2 0. Тогда их прямая пересечения может быть задана следующим образом:

a1 x b1 y c1 z d1	0,	(15.5)
l :		(15.5)
a2 x b2 y c2 z d2 0.

Очевидно, для того, чтобы система (15.5) задавала прямую необходимо и достаточно, чтобы n1 a1 ;b1 ; c1 и n2 a2 ;b2 ; c2 не были коллинеарны. В этом случае направляющий вектор прямой s определяется по формуле:


	s n1 n2						(15.6)

2x y 3z 1 0,

N. Составить канонические уравнения прямой

x y 2z 5 0.

Решение.

Найдем какую-нибудь точку на данной прямой. Для этого положив z 0, получим систему:

2x y 1 0,x y 5 0.

Отсюда x 2, y 3. Таким образом, точка A(2; 3; 0) - точка прямой. Найдем направляющий вектор прямой по формуле (15.6).

n1 2; 1;3 , n2 1;1; 2 . Тогда:


	i		j	k		1	3		2	3		2	1

s n n	2	1		3	i			j			k			1; 7;3 .
1 2						1	2		1	2		1	1
	1	1		2		1	2		1	2		1	1
	1	1		2

Составим канонические уравнения прямой, воспользовавшись формулой

(15.3).

x 2 y 3 z . 1 7 3

Ответ. x 2 y 3 z . 1 7 3

Замечание. Для составления канонических уравнений прямой можно поступить иначе. Можно отыскать две какие-нибудь точки данной прямой и воспользоваться уравнениями прямой, проходящей через две точки (15.4).

Основные задачи на прямую в пространстве

1. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями.

l :

x x1

y y1

z z1

и l

x x2

y y2

z z2

Угол между двумя прямыми однозначно определяется углом между их направляющими векторами s1 m1 ; n1 ; p1 и s2 m2 ; n2 ; p2 . Пусть угол между этими векторами. Тогда:

cos	s1	s2			m1m2 n1n2		p1 p2		.	(15.7)
cos		s							.	(15.7)
	s	s	2	m2	n2	p2	m2	n2	p2
	1		2	1	1	1	2	2	2

Формула (15.7) позволяет определить один из углов (острый или тупой) между прямыми.

Замечание. Если необходимо найти острый угол между прямыми, то его косинус находят по формуле:

cos	m1m2 n1n2 p1 p2				.	(15.8)
cos					.	(15.8)
m2	n2	p2	m2	n2	p2
1	1	1	2	2	2

l l s

l1 l2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0.

2. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пусть

заданы

две

прямые

своими

каноническими

уравнениями:

l :

x x1

y y1

z z1

;

Рис. 15.3

x x2

y y2

z z2

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l1 , M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) l2 (рис. 15.3).

m1 ; n1 ; p1 ,

m2 ; n2 ; p2

напрвляющие

векторы прямых l1

и l2

соответственно.

Прямые

l1 и

лежат в одной плоскости тогда и только тогда,

когда

x2 x1 ; y2

y1 ; z2

z1 компланарны, т.е.

векторы s1 , s2

и M1M2

x2 x1

y2 y1

z2 z1

(15.9)

N. Доказать, что прямые

y 3

z 5

x 1

z 1

скрещиваются.

Решение.

2; 1;3 ,

0; 2;1 ,

(0;3; 5), M

(1; 0;1).

Воспользуемся

условием (15.9) принадлежности прямых одной плоскости.

	3	6
1	3	6
2	1	3	23 0	данные прямые не принадлежат одной плоскости, а
0	2	1

значит, скрещиваются. Что и требовалось доказать.

3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть задана прямая l :

x x1

y y1

z z1

точка M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) l. Найдем расстояние

от

точки M 0

до прямой l.

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l. Отложим

направляющий

вектор

M1.

прямой от точки

m; n; p

Очевидно, что искомое расстояние равно высоте

построенногона векторах s

и M1M 0 (рис. 15.4). Значит,

nap.

s M1M 0

4. Расстояние между параллельными прямыми.

Рис. 15.4

параллелограмма,

(15.10)

Пусть

заданы

параллельные

прямые

l :

x x1

y y1

z z1

x x2

y y2

z z2

Найдем расстояние между этими прямыми.

Вектор

m; n; p

–

направляющий

вектор

данных

параллельных

прямых, M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l1 ,

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) l2 . Искомое расстояние равно высоте

параллелограмма, построенного на векторах s

и M1M 2

nap.

s M1M 2

Рис. 15.5

(рис. 15.5). Значит,

(15.11)

5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Пусть заданы две скрещивающиеся прямые:

l :

x x1

y y1

z z1

и l

x x2

y y2

z z2

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
05.03.20164.22 Mб11Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1.pdf
#
05.03.2016828.8 Кб13Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 2.pdf